算法测验 | SP竞赛4 | 问题7

简介

这是一个SP竞赛4中的算法测验，问题7。这个问题需要找到一个二维矩阵中的一个子矩阵，使得其所有元素之和最大。这是一个常见的子矩阵问题，可以使用动态规划或者暴力解决。

算法描述

暴力解法

暴力解法是通过枚举所有可能的子矩阵，并计算它们的和，最后返回最大的和。具体步骤如下：

1. 遍历矩阵中的每个元素作为子矩阵的左上角元素。
2. 遍历所有可能的子矩阵大小，并计算其和。
3. 记录最大的和，以及对应的子矩阵左上角和大小。

暴力解法时间复杂度为 $O(n^6)$，不适用于大规模数据。

动态规划

动态规划可以用来优化算法，减少冗余计算。具体步骤如下：

1. 计算每一行的前缀和。
2. 遍历每一列，将矩阵转换为所有以当前列为右边界的子矩阵。
3. 对于每个子矩阵，计算其和，记录最大的和，以及对应的子矩阵左上角和大小。

动态规划算法时间复杂度为 $O(n^3)$，比暴力解法快很多。

代码示例

暴力解法

def max_submatrix(matrix):
    rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])
    max_sum = float('-inf')
    res = [None] * 4
    
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            for k in range(i, rows):
                for l in range(j, cols):
                    sub_sum = 0
                    for p in range(i, k+1):
                        for q in range(j, l+1):
                            sub_sum += matrix[p][q]
                    
                    if sub_sum > max_sum:
                        max_sum = sub_sum
                        res = [i, j, k, l]
    
    return res, max_sum

动态规划

def max_submatrix(matrix):
    rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])
    max_sum = float('-inf')
    res = [None] * 4
    
    # 计算每一行的前缀和
    for i in range(rows):
        for j in range(1, cols):
            matrix[i][j] += matrix[i][j-1]
    
    # 遍历每一列，计算最大和以及对应子矩阵的左上角和大小
    for i in range(cols):
        for j in range(i, cols):
            sub_sum = 0
            cur_row_sum = [0] * rows
            for k in range(rows):
                cur_row_sum[k] = matrix[k][j] - (matrix[k][i-1] if i > 0 else 0)
                
                if sub_sum > 0:
                    sub_sum += cur_row_sum[k]
                else:
                    sub_sum = cur_row_sum[k]
                    
                if sub_sum > max_sum:
                    max_sum = sub_sum
                    res = [0, i, k, j]
    
    return res, max_sum

以上是Python示例代码。