泊松分布公式

概率是数学的基础之一。泊松分布是一种离散概率分布，它表示给定数量的事件在固定时间间隔内发生的概率。当您知道事件发生的频率时，它有助于预测某些事件发生的概率。泊松分布公式很简单，借助这个公式，可以很容易地解决问题。

泊松分布

泊松分布是一种概率分布，用于显示事件在特定时期内发生的次数。它是给定时间段内发生的事件数量的离散概率分布，给定事件在该时间段内发生的平均次数。它是与极其罕见但具有大量独立发生机会的事件的概率相关的分布。

泊松分布公式

假设 X 是一个离散随机变量，可以假设值 0、1、2……那么，X 的概率函数由泊松分布给出。

$f(x) = P(X = x) =\ \frac{\lambda^x e^{-\lambda} }{x!}\\$

其中，λ是正常数

推导

This distribution can be derived as the limiting case of binomial distribution by making n very large and p very small, keeping np (=λ) fixed.

The probability of x successes in a binomial distribution is:

P(x) = $\binom{n}{x} p^x q^{n-x}$                        

Where p is the probability of success, q is the probability of failure, n is the number of trails 

P(x) = $[\frac{\lambda ^x}{x!}] \lim_{n\to\infty} [\frac{(n)(n-1)(n-2)(n-3).....(n-x+1)}{x!}] p^x q^{n-x}$

As n ⇢ ∞, p ⇢ 0. np=λ

P(x) = $[\frac{\lambda ^x}{x!}] \lim_{n\to\infty} \frac{(\frac{1-\lambda}{n})^n}{(\frac{1-\lambda}{n})^x}$

P(x) = $\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$  

泊松分布图

泊松分布图

泊松分布性质

• 泊松分布只有一个参数“λ”
• λ = np
• 平均值 = λ ，方差 = λ ，标准偏差 = √λ。
• 偏度 = 1/λ
• 峰度 = 3 + 1/λ
• 泊松分布呈正偏态且呈尖峰态。

示例问题

问题 1：如果工厂生产的总产品中有 4% 有缺陷。求 50 件商品样本中缺陷品少于 2 件的概率。

解决方案：

Here we have, n = 50, p = (4/100) = 0.04, q = (1-p) = 0.96,  λ = 2

Using Poisson’s Distribution,

P(X = 0) = $\frac{2^0e^{-2}}{0!}$ = 1/e² = 0.13534

P(X = 1) = $\frac{2^1e^{-2}}{1!}$ = 2/e² = 0.27068

Hence the probability that less than 2 items are defective in sample of 50 items is given by:

P( X > 2 ) = P( X = 0 ) + P( X = 1 ) = 0.13534 + 0.27068 = 0.40602

问题 2：如果药物不良反应的概率为 0.002，确定 1000 个人中超过 3 人会出现药物不良反应的概率。

解决方案：

Here we have, n = 1000, p = 0.002, λ = np = 2

X = Number of person suffer a bad reaction 

Using Poisson’s Distribution

P(X > 3) = 1 – {P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)} 

P(X = 0) = $\frac{2^0e^{-2}}{0!}$ = 1/e²

P(X = 1) = $\frac{2^1e^{-2}}{1!}$ = 2/e² 

P(X = 2) = $\frac{2^2e^{-2}}{2!}$ = 2/e²

P(X = 3) =  $\frac{2^3e^{-2}}{3!}$ = 4/3e²

P(X > 3) = 1 – [19/3e²] = 1 – 0.85712 = 0.1428

问题3：如果一个工厂制造的螺丝总数中有1%是有缺陷的。在 100 个螺钉的样本中找出少于 3 个螺钉有缺陷的概率。

解决方案：

Here we have, n = 100, p = 0.01, λ = np = 1

X = Number of defective screws

Using Poisson’s Distribution

P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) 

P(X = 0) = $\frac{1^0e^{-1}}{0!}$ = 1/e

P(X = 1) = $\frac{1^1e^{-1}}{1!}$ =1/e

P(X = 2) = $\frac{1^2e^{-1}}{2!}$ =1/2e

P(X < 3) = 1/e + 1/e +1/2e

= 2.5/e = 0.919698

问题 4：如果在一个行业中，有 5% 的员工可能会受到电晕的影响。在一组 20 名员工中，超过 3 名员工遭受电晕的概率是多少？

解决方案：

Here we have, n = 20, p = 0.05, λ = np = 1

X = Number of employees who will suffer corona

Using Poisson’s Distribution

P(X > 3) = 1-[P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)]

P(X = 0) = $\frac{1^0e^{-1}}{0!}$ = 1/e

P(X = 1) = $\frac{1^1e^{-1}}{1!}$ = 1/e

P(X = 2) =$\frac{1^2e^{-1}}{2!}$ =1/2e

P(X = 3) =$\frac{1^3e^{-1}}{3!}$ =1/6e

P(X > 3) = 1 – [1/e + 1/e + 1/2e + 1/6e]

= 1 – [ 8/3e] = 0.018988

问题 5：制造商知道他制造的灯泡中有 2% 的灯泡有缺陷。如果他制造 200 个灯泡，那么少于 4 个灯泡有缺陷的概率是多少。

解决方案：

Here we have, n = 200, p = 0.02, λ = np = 4

X = Number of bulbs are defective

Using Poisson’s Distribution

P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) 

P(X = 0) = $\frac{4^0e^{-4}}{0!}$ = 1/e⁴

P(X = 1) =$\frac{4^1e^{-4}}{1!}$ = 4/e⁴

P(X = 2) = $\frac{4^2e^{-4}}{2!}$ = 8/e⁴

P(X = 3) =$\frac{4^3e^{-4}}{3!}$ = 32/3e⁴

P(X < 4)= 1/e⁴ + 4/e⁴ + 8/e⁴ + 32/3e⁴ = 71/3e⁴

= 0.43347

问题 6：在一所大学，某位成员在任何一天缺勤的概率为 0.001。如果有 800 名员工，计算任何一天缺勤人数为 4 的概率。

解决方案：

Here we have, n = 200, p = 0.02, λ = np = 4

X = Number of members of staff absent on any day

Using Poisson’s Distribution     

P(X = 4) = $\frac{(0.8)^4e^{-0.8}}{4!}$ 

= 0.00767