第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 11 章微分 - 练习 11.7 |设置 2

本文介绍的是RD Sharma微积分教材中第11章微分的练习11.7的解决方案。本练习集中在微分的应用中，要求学生用微分的方法求出相关问题的答案，包括求导数、极值、最大值、最小值等。

练习11.7题目

题目要求：对函数 $f(x) = \frac{e^{-x}}{2}(x \sin{x} + \cos{x})$ 求解以下问题：

1. $f(x)$ 的一阶导数；
2. $f(x)$ 的二阶导数；
3. $f(x)$ 的 $x = \frac{\pi}{2}$ 处的最大值和最小值。

一阶导数

我们对 $f(x)$ 进行求导，得到：

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{d}{dx}[\frac{e^{-x}}{2}(x \sin{x} + \cos{x})] \ &= \frac{-e^{-x}}{2}(x \sin{x} + \cos{x}) + \frac{e^{-x}}{2}(\sin{x} + x\cos{x}) \ &= \frac{e^{-x}}{2}(x\cos{x} - \sin{x} - 1) \end{aligned} $$

因此， $f(x)$ 的一阶导数为 $\frac{e^{-x}}{2}(x\cos{x} - \sin{x} - 1)$ 。

二阶导数

接下来求 $f(x)$ 的二阶导数，即求 $f'(x)$ 的导数。使用链式法则和求导公式，我们得到：

$$ \begin{aligned} f''(x) &= \frac{d}{dx}[\frac{e^{-x}}{2}(x\cos{x} - \sin{x} - 1)] \ &= \frac{-e^{-x}}{2}(x\cos{x} - \sin{x} - 1) + \frac{e^{-x}}{2}(\cos{x} - x\sin{x} - \sin{x}) \ &= \frac{-e^{-x}}{2}(x\sin{x} + \cos{x} - 2) \end{aligned} $$

因此， $f(x)$ 的二阶导数为 $\frac{-e^{-x}}{2}(x\sin{x} + \cos{x} - 2)$ 。

最大值和最小值

我们在 $f'(x)$ 中求出 $x=\frac{\pi}{2}$ 时的值，得到：

$$ f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{e^{-\pi/2}}{2}(\frac{\pi}{2}\cos{\frac{\pi}{2}} - \sin{\frac{\pi}{2}} - 1) = -\frac{e^{-\pi/2}}{2} $$

因此， $f(\frac{\pi}{2})$ 的斜率为负，说明 $f(\frac{\pi}{2})$ 是该函数的局部最大值。我们需要确认是否为全局最大值，这可以通过比较 $f(x)$ 在两端点的值来确定，即：

$$ \begin{aligned} f(0) &= \frac{e^{0}}{2}(0\sin{0} + \cos{0}) = \frac{1}{2} \ f(\pi) &= \frac{e^{-\pi}}{2}(\pi\sin{\pi} + \cos{\pi}) = -\frac{1}{2}e^{-\pi} \end{aligned} $$

因此， $f(\frac{\pi}{2})$ 是该函数最大值。

同样的方法，我们可以计算出 $f(\frac{\pi}{2})$ 的斜率为正，说明 $f(\frac{\pi}{2})$ 是该函数的局部最小值。同样需要确认是否为全局最小值，计算出：

$$ \begin{aligned} f(\pi/6) &= \frac{e^{-\pi/6}}{2}(\frac{\pi}{6}\sin{\frac{\pi}{6}} + \cos{\frac{\pi}{6}}) \approx 0.383 \ f(\frac{7\pi}{6}) &= \frac{e^{-7\pi/6}}{2}(\frac{7\pi}{6}\sin{\frac{7\pi}{6}} + \cos{\frac{7\pi}{6}}) \approx -0.383 \end{aligned} $$

因此， $f(\frac{\pi}{2})$ 是该函数最小值。

至此，我们完成了对问题3的解答。

结论

本文提供了RD Sharma微积分教材第11章微分中练习11.7的解决方案，涉及一阶导数、二阶导数以及最大值和最小值的求解。我们希望这篇文章对学习微积分的同学们有所帮助。