简介

门 | GATE CS 2019 |简体中文问题29 是一个经典的计算机科学问题，它涉及到了图论、最短路径算法和动态规划等多个领域。该问题被视为一个挑战性问题，考察了程序员对于数据结构和算法的深度理解和应用能力。

问题描述

门 | GATE CS 2019 |简体中文问题29 的问题描述如下：

给定一个无向图 G，它包含 n 个节点和 m 条边。每条边都有一个权重 w(i,j)。图中每个节点都被染上了黑色或白色，要求从其中一个白色节点出发，到达另一个白色节点，并且路径中经过的黑色节点数不超过 k。求这个包含黑色节点数不超过 k 的最短路径的长度。

解法分析

针对该问题，可以采用以下的动态规划思路来解决：

1. 对具有相邻的黑白节点对之间建立虚拟边，权重为 0。
2. 从所有的白色节点出发，建立一个源点 S，连接所有白色节点。对建立的虚拟边依次编号为 1, 2, ..., m。
3. 从所有的黑色节点出发，建立一个汇点 T，连接所有黑色节点。在 T 与汇点之间建立虚拟边，权值为 0。
4. 对所有的边进行排序。将排序后的边依次添加到网络中，添加的同时计算当前的最短路径。
5. 对于每条边，如果它有能够到达的白色节点 x，则可以进行以下操作：
   • 如果 x 与源点 S 未联通，则将它与 S 连接，边权为该边的权值。
   • 如果 x 与源点 S 联通，则分别计算通过这条边到达 x 与不通过这条边到达 x 两种情况下的最短路径，取最小值。
6. 对于每条边，如果它有能够到达的黑色节点 x，则可以进行以下操作：
   • 如果 x 与汇点 T 未联通，则将它与 T 连接，边权为该边的权值。
   • 如果 x 与汇点 T 联通，则分别计算通过这条边到达 x 与不通过这条边到达 x 两种情况下的最短路径，取最小值。
7. 对于每个白色节点，如果它与黑色节点联通，则计算其到达黑色节点的距离，并选出所有距离不超过 k 的最小值。

代码实现

以下是基于 Python 语言实现以上算法的一个例子：

import heapq

def build_graph(n, m, edges):
    """
    根据输入数据，建立图形结构
    """
    graph = [[] for i in range(n + 2)]
    for i in range(m):
        u, v, w = edges[i]
        graph[u].append((v, w, i))
        graph[v].append((u, w, i))
    return graph

def shortest_path(n, m, edges, k, s, t):
    """
    计算图形结构中指定源和汇之间的最短路径
    """
    graph = build_graph(n, m, edges)
    dist = [[float('inf')] * (k + 1) for i in range(n + 2)]
    visited = [[False] * (k + 1) for i in range(n + 2)]
    heap = [(0, s, 0)]
    dist[s][0] = 0
    while heap:
        (d, u, b) = heapq.heappop(heap)
        if visited[u][b]:
            continue
        visited[u][b] = True
        for (v, w, i) in graph[u]:
            new_dist = dist[u][b] + w
            new_b = b
            if i <= m and b < k:
                new_b += 1
            if new_dist < dist[v][new_b]:
                dist[v][new_b] = new_dist
                heapq.heappush(heap, (new_dist, v, new_b))
    ans = float('inf')
    for i in range(k + 1):
        ans = min(ans, dist[t][i])
    return ans if ans < float('inf') else -1

以上代码实现了一个基于 Dijkstra 算法及其优化的最短路径算法，可以针对题目中的具体数据进行测试。