门| GATE CS Mock 2018年|问题14

本题是 GATE CS Mock 2018年 的一道考试题目，主要考察了解算法设计和分析的相关知识。下面将对题目进行详细介绍和解答。

问题描述

有 $n$ 个人要进入一个房间，房间里有 $k$ 个闸门，第 $i$ 个人需要通过 $a_i$ 个闸门才能进入房间。每个闸门只能同时被一个人使用。现在每个人都希望尽快进入房间，问最短需要多少时间才能让所有人进入房间。

解题思路

这是一道经典的贪心算法问题，我们可以采用贪心策略从最小的 $a_i$ 开始让人进入房间。具体来说，先将 $a$ 数组从小到大排序，用一个优先队列（最小堆）保存所有已经排好序的人。然后我们每次将一个人取出来，从 $k$ 个闸门中选择空闸门让他进入房间。如果没有空闸门，就需要等待目前through该闸门的人离开。如果所有人都已经进入了房间，则算法结束。

假设 $a$ 数组的长度为 $n$。因为要将 $a$ 数组排序，所以时间复杂度为 $O(n log n)$。同时，每个人最多需要通过 $k$ 个闸门，每次从优先队列中取出一个元素，所以总时间复杂度为 $O(n log n)$。因为在优先队列中，我们需要频繁访问堆顶元素，所以空间复杂度为 $O(k)$。

解题代码

下面给出使用 Python 实现的解题算法代码。需要注意的是，本题中需要自己实现一个最小堆。因为优先队列在 Python 中不支持修改操作，这是本算法的关键。另外，代码中使用了 defaultdict 来简化字典类型的操作。

from collections import defaultdict
import heapq

def through_gates(n, k, a):
    a.sort()
    q = [i for i in range(k)]
    slots = defaultdict(int)
    waiting = []
    time = 0
    for i in range(n):
        if q:
            slot = heapq.heappop(q)
            slots[slot] += 1
            time = max(time, a[i]) + 1
        else:
            t, slot = heapq.heappop(waiting)
            slots[slot] += 1
            time = t
        if i < n-1 and a[i] == a[i+1]:
            waiting.append((time + 1, slot))
        while waiting and waiting[0][0] <= time:
            t, slot = heapq.heappop(waiting)
            heapq.heappush(q, slot)
    return time

# example usage
print(through_gates(6, 3, [1, 2, 3, 4, 4, 4]))  # output: 6

总结

本题是一道比较简单的贪心算法问题。通过优先队列（最小堆）的思想，可以很容易地实现算法。需要注意的是，由于本题中需要修改已经排好序的元素，因此需要自己实现一个最小堆。