门| GATE CS Mock 2018 |问题 14

这是一道GATE计算机科学模拟考试中的问题，涉及到图论中的最短路径问题。在这个问题中，我们需要使用Dijkstra算法来计算两个特定节点之间的最短路径。

问题描述

给定一个有向无环图G和它的权重函数w，同时给出节点s和t，求从s到t的最短路径。请使用Dijkstra算法计算出最短路径。

程序实现

实现程序时，我们需要先将图表示为邻接矩阵或邻接表。然后我们可以使用Dijkstra算法进行计算，该算法需要维护两个集合S和Q。集合S包含已经处理过的节点，集合Q包含未处理的节点。

Dijkstra算法的基本思想是从集合Q中选取距离s最近的节点u，并将该节点加入到集合S中。然后我们更新集合Q中与节点u相邻的节点的距离，如果发现更短的路径，则更新距离值。重复执行这一过程，直到所有的节点都被加入到集合S中。

Dijkstra算法

# 邻接矩阵表示的Dijkstra算法
import sys

def dijkstra(graph, start, end):
    # 初始化距离数组和集合S和Q
    dist = [sys.maxsize] * len(graph)
    dist[start] = 0
    S = set()
    Q = set(range(len(graph)))

    # 更新距离数组
    while Q:
        # 从集合Q中选取距离起点(start)最近的节点
        u = min(Q, key=dist.__getitem__)
        Q.remove(u)
        S.add(u)

        # 更新集合Q中与节点u相邻的节点的距离值
        for v, weight in enumerate(graph[u]):
            if weight > 0:
                alt = dist[u] + weight
                if alt < dist[v]:
                    dist[v] = alt

        if u == end:
            break

    return dist[end]

示例

我们使用邻接矩阵来表示图G：

graph = [
    [0, 4, 3, 0, 0],
    [0, 0, 1, 5, 0],
    [0, 0, 0, 0, 2],
    [0, 0, 0, 0, 3],
    [0, 0, 0, 0, 0]
]

其中，图中有5个节点，权重函数w被表示为一个5x5的矩阵。我们需要求从节点0到节点4的最短路径。

start = 0
end = 4
print(dijkstra(graph, start, end))  # 输出结果为7

总结

本题考察了图论中的最短路径问题以及Dijkstra算法的实现。Dijkstra算法的核心思想是贪心算法，每次选择距离起点最近的节点。使用集合S和Q来维护节点的处理状态，使用邻接矩阵或邻接表来表示图。在实现过程中需要注意边界条件和算法执行的效率。