门 | GATE-CS-2017(Set 2)|问题24

此题目考察关于DFA(确定性有限状态自动机)以及NFA(非确定性有限状态自动机)的相关概念和理解。

问题描述

考虑一个由两个状态q0和q1组成的DFA M与一个由三个状态q0,q1和q2组成的NFA N，其状态转移图如下所示。按以下问题回答问题，其中，∑={0,1}。

题目分析

在此题目中，我们需要对于给定的两个有限状态自动机M和N进行相关问题的思考和分析，这两个有限状态自动机的定义已经在问题描述中给出，并且状态转移图也已经给出，由此我们可以得出如下的相关信息：

• 对于DFA M，其仅有两个状态(q0和q1)，并且其状态转移函数已经给出。
• 对于NFA N，其有三个状态(q0,q1和q2)，并且其状态转移函数已经给出。

基于上述信息，我们需要回答如下的问题：

• 对于给定的字符串x = 0101010，DFA M在输入x时会停留在哪个状态上？

• 对于给定的字符串x = 0101010，NFA N在输入x时会停留在哪些状态上？

• 是否可以将NFA N转换为一个与DFA M等价的有限状态自动机？

• 如果可以将NFA N转换为一个与DFA M等价的有限状态自动机，那么新的有限状态自动机会有多少个状态？

• 如果可以将NFA N转换为一个与DFA M等价的有限状态自动机，那么新的有限状态自动机的状态转移函数会是怎样的？

问题回答

问题一

对于给定字符串x=0101010，DFA M在输入x时停留在状态q0上。

问题二

对于给定字符串x=0101010，NFA N在输入x时会停留在状态q1和状态q2上。

问题三

可以将NFA N转换为一个与DFA M等价的有限状态自动机。 在转换过程中，需要先将NFA N转换为DFA M'，然后再通过等价关系来简化DFA M'。

问题四

由于NFA N有三个状态(q0,q1和q2)，因此在将其转换为DFA时，可能会存在多个等价的状态被合并成一个状态的情况。 因此，新的有限状态自动机会有1个或2个状态，具体取决于等价性关系。

问题五

转换后新的有限状态自动机的状态转移函数如下：

|状态|0|1| |----|-|-| |A |A |- | |B |C |D | |C |B/C/D |B/C/D | |D |B/C/D |B/C/D |

其中，状态A/B/C/D分别代表NFA N中的状态q0/q1/q2以及转换后新的状态。

总结

在完成本题目时，我们需要深入理解并掌握DFA和NFA两种自动机的相关概念以及等价关系的应用。 对于DFA，我们需要了解其状态转移函数以及能够接受的字符串集合。 对于NFA，我们需要了解其状态转移函数以及在某个状态停留时，能够转移到的所有状态。

通过本题目的学习，可以帮助我们更加深入地理解和掌握自动机理论，对于解决类似问题具有一定的启示作用。