门| GATE CS 2018 |问题 27

这是关于GATE CS 2018年的问题27的程序员介绍。

问题背景

题目27要求找到一个找到数组中最小未出现的正整数的算法。该算法需要具有线性时间复杂度和恒定的空间复杂度。题目还要求在使用O(n)时间复杂度，O(1)空间复杂度的情况下，对算法进行小修改，使它可以处理包含负数的情况。

解决方案

一个可行的解决方案是使用桶排序。将值保存在计数器数组中，其中数组的下标为值本身。通过遍历数组，找到第一个计数器数组元素为零的下标。如果数组中的所有元素都不为零，则返回数组的长度加1（因为数组中的元素都是正整数，因此未出现的最小数是整个数组的长度加1）。

以下是基于上述思想的Python代码实现：

def find_small_number(arr):
    n = len(arr)
    counter = [0] * (n+1)

    for i in range(n):
        if arr[i] > 0 and arr[i] <= n:
            counter[arr[i]] += 1

    for i in range(1, n+1):
        if counter[i] == 0:
            return i

    return n+1

这个算法的时间复杂度是O(n)（对于给定的输入大小），因为需要遍历数组中的每个元素，但是空间复杂度却是O(n+1)，因为我们需要一个计数器数组与原始数组一样大。

为了解决包含负数的问题，我们可以首先把所有非正数从数组中删除。然后，我们可以应用上述算法来找到最小未出现的正整数。

以下是基于上述思想的Python代码实现：

def find_small_number_with_negatives(arr):
    arr = [x for x in arr if x > 0]
    return find_small_number(arr)

这个算法的时间复杂度也是O(n)，而空间复杂度也是O(1)，因为我们没有使用额外的数据结构。

结论

通过这种方法，我们可以找到一个恒定空间复杂度的、线性时间复杂度的算法，该算法可以找到包含负数的数组中的最小未出现的正整数。这个算法是本问题的最优解之一，因为对于每个输入值它都具有最好的时间和空间复杂度。