教资会网络 | UGC NET CS 2014 年 12 月 – II | 问题 46

问题描述：

有一个元素是从位置0开始插入到长度为n的空列表中，之后执行n次，每次操作都随机选择执行的是插入元素还是删除元素。假设每次插入的概率是p，删除的概率是1-p，则下标位置i的元素在最终列表中存在的概率是多少？

解答：

我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。

设f[i][j]为在前i次操作中，位置j存在元素的概率。则f[i][j]可以通过f[i-1][j-1]和f[i-1][j+1]转移而来。

如果第i次是插入操作，则位置j存在元素的概率为：

f[i][j] = p * f[i-1][j-1] + (1 - p) * f[i-1][j]

如果第i次是删除操作，则位置j存在元素的概率为：

f[i][j] = (1 - p) * f[i-1][j+1] + p * f[i-1][j]

根据以上递推关系，我们可以推出f[n][0]的值，这就是在长度为n的空列表中，初始位置为0的元素最终仍存在的概率。

代码片段：

n = int(input())
p = float(input())

f = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]

# 初始化前两个操作时的概率
f[0][0] = 1
f[1][0] = p
f[1][1] = 1-p

# 递推计算每个位置存在元素的概率
for i in range(2, n+1):
    for j in range(n+1):
        if j == 0:
            f[i][j] = p * f[i-1][j+1] + (1-p) * f[i-1][j]
        elif j == n:
            f[i][j] = (1-p) * f[i-1][j-1] + p * f[i-1][j]
        else:
            f[i][j] = p * f[i-1][j-1] + (1-p) * f[i-1][j]
            f[i][j] += (1-p) * f[i-1][j+1] + p * f[i-1][j]

# 根据最终的概率矩阵，计算位置0存在元素的概率
prob = f[n][0]
print("%.6f" % prob)

返回的markdown格式：

## 教资会网络 | UGC NET CS 2014 年 12 月 – II | 问题 46

### 问题描述：

有一个元素是从位置0开始插入到长度为n的空列表中，之后执行n次，每次操作都随机选择执行的是插入元素还是删除元素。假设每次插入的概率是p，删除的概率是1-p，则下标位置i的元素在最终列表中存在的概率是多少？

### 解答：

我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。

设f[i][j]为在前i次操作中，位置j存在元素的概率。则f[i][j]可以通过f[i-1][j-1]和f[i-1][j+1]转移而来。

如果第i次是插入操作，则位置j存在元素的概率为：

f[i][j] = p * f[i-1][j-1] + (1 - p) * f[i-1][j]

如果第i次是删除操作，则位置j存在元素的概率为：

f[i][j] = (1 - p) * f[i-1][j+1] + p * f[i-1][j]

根据以上递推关系，我们可以推出f[n][0]的值，这就是在长度为n的空列表中，初始位置为0的元素最终仍存在的概率。

代码片段：

```python
n = int(input())
p = float(input())

f = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]

# 初始化前两个操作时的概率
f[0][0] = 1
f[1][0] = p
f[1][1] = 1-p

# 递推计算每个位置存在元素的概率
for i in range(2, n+1):
    for j in range(n+1):
        if j == 0:
            f[i][j] = p * f[i-1][j+1] + (1-p) * f[i-1][j]
        elif j == n:
            f[i][j] = (1-p) * f[i-1][j-1] + p * f[i-1][j]
        else:
            f[i][j] = p * f[i-1][j-1] + (1-p) * f[i-1][j]
            f[i][j] += (1-p) * f[i-1][j+1] + p * f[i-1][j]

# 根据最终的概率矩阵，计算位置0存在元素的概率
prob = f[n][0]
print("%.6f" % prob)

注意：以上代码片段中的代码部分需要保留缩进。