第 12 类 RD Sharma 解——第 8 章联立线性方程组的解——练习 8.1 |设置 1

本篇解答为 RD Sharma 数学教材中第 8 章“联立线性方程组的解”练习 8.1 中设置 1 的解答。RD Sharma 数学教材为印度数学家 RD Sharma 编写的一套数学教材，侧重于高中数学的教学。

题目描述

求解下列方程组：

$x - y - 3z = 10$

$2x - 3y + 2z = 5$

$3x - 4y + 3z = 0$

解答过程

使用高斯-约旦消元法求解。

将方程组写成增广矩阵形式：

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & 10 \ 2 & -3 & 2 & 5 \ 3 & -4 & 3 & 0 \ \end{pmatrix}$$

进行行变换，使第一列元素除了首位元素外均为零：

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & 10 \ 0 & -1 & 8 & -15 \ 0 & -1 & 12 & -30 \ \end{pmatrix}$$

再对第二行和第三行进行行变换，使第二列元素除了主元素外均为零：

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & 10 \ 0 & -1 & 8 & -15 \ 0 & 0 & 4 & -15 \ \end{pmatrix}$$

最后一步将矩阵转化为行简化阶梯形式：

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -19/4 & 35/2 \ 0 & 1 & -8 & 15 \ 0 & 0 & 1 & -15/4 \ \end{pmatrix}$$

从中读取解：

$$\begin{cases} x = \frac{35}{2} + \frac{19}{4}z \ y = 15 + 8z \ z \in \mathbb{R} \end{cases}$$

解答

使用高斯-约旦消元法求解。

将方程组写成增广矩阵形式：

$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & -3 & 10 \\
2 & -3 & 2 & 5 \\
3 & -4 & 3 & 0 \\
\end{pmatrix}$$

进行行变换，使第一列元素除了首位元素外均为零：

$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & -3 & 10 \\
0 & -1 & 8 & -15 \\
0 & -1 & 12 & -30 \\
\end{pmatrix}$$

再对第二行和第三行进行行变换，使第二列元素除了主元素外均为零：

$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & -3 & 10 \\
0 & -1 & 8 & -15 \\
0 & 0 & 4 & -15 \\
\end{pmatrix}$$

最后一步将矩阵转化为行简化阶梯形式：

$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & -19/4 & 35/2 \\
0 & 1 & -8 & 15 \\
0 & 0 & 1 & -15/4 \\
\end{pmatrix}$$

从中读取解：

$$\begin{cases}
x = \frac{35}{2} + \frac{19}{4}z \\
y = 15 + 8z \\
z \in \mathbb{R}
\end{cases}$$