第12类RD Sharma解–第19章不定积分–练习19.30 |套装3

本文介绍了RD Sharma的教科书《数学》第12类第19章不定积分中练习19.30的套装3解法。该题涉及到三角函数，需要对三角函数的性质有一定的理解。

题目

求下列函数的原函数：

$$\int \frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1} d \theta$$

分析

观察被积函数，不难发现其形式可以拆分为两个部分。

$$\int \frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1} d \theta=\int \left(\frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1}\cdot \frac{\sec \theta-1}{\sec \theta-1}\right) d \theta=\int \frac{(\sec^2 \theta-\sec \theta)-(-1)}{\sec^2 \theta-1} d \theta=\int \frac{\sec^2 \theta-\sec \theta}{\tan^2 \theta} d \theta -\int \frac{1}{\sec^2 \theta-1} d \theta$$

第一个积分中，我们发现除数可以转化为用 $\tan$ 函数表示的形式，即 $\tan^2 \theta =\sec^2 \theta-1$。于是，积分式变成了：

$$\int \frac{\sec^2 \theta-\sec \theta}{\tan^2 \theta} d \theta=\int \frac{\sec \theta (\sec \theta -1)}{\tan^2 \theta} d \theta=\int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} d\theta - \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} d\theta + \int \frac{1}{\tan^2 \theta} d \theta$$

第三个积分式为 $\int \frac{1}{\tan^2 \theta} d \theta$，需要我们对 $\tan$ 函数的性质有了解。 $\tan \theta =\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$，积分式变形后变成了一个形如 $\int \frac{dx}{x^2-a^2}$ 的形式，可采用分式分解的方法转化为求解 $\int \frac{dx}{x-a} - \frac{dx}{x+a}$ 的形式，利于后续的计算。

第二个积分式为 $\int \frac{1}{\sec^2 \theta-1} d \theta$，同样需要我们对 $\sec$ 函数的性质有了解。 $\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta}$，积分式变形后变成了一个形如 $\int \frac{dx}{a^2-x^2}$ 的形式，可采用分式分解的方法转化为求解 $\frac{1}{2a} \int \frac{dx}{x-a} + \frac{1}{2a} \int \frac{dx}{x+a}$ 的形式，利于后续的计算。

步骤

综上所述，我们可以采用以下步骤求解原函数：

1. 利用 $\tan^2 \theta =\sec^2 \theta-1$，将第一个积分式变换为 $\int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} d\theta - \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} d\theta + \int \frac{1}{\tan^2 \theta} d \theta$；
2. 利用 $\tan \theta =\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ 和 $\frac{1}{\cos^2 \theta}=1+\tan^2 \theta$，将第一个积分式转化为 $\int \frac{d \frac{1}{\cos \theta}}{\frac{1}{\cos^2 \theta}} - \int \frac{d \frac{1}{\cos \theta}}{\frac{1}{\cos^2 \theta}} + \int \frac{1}{\tan^2 \theta} d \theta=\int \frac{d(\cos \theta)}{\cos^2 \theta} - \int \frac{d(\cos \theta)}{\cos^2 \theta} + \int \frac{1}{\tan^2 \theta} d \theta$；
3. 对第一个积分式 $\int \frac{d(\cos \theta)}{\cos^2 \theta}$，进行变量代换，令 $u=\cos \theta$，那么 $du=-\sin \theta d\theta$，积分式变成了 $-\int \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}+C_1=-\frac{1}{\cos \theta}+C_1$；
4. 对第二个积分式 $\int \frac{d(\cos \theta)}{\cos^2 \theta}$，进行变量代换，令 $v=\cos \theta$，那么 $dv=-\sin \theta d\theta$，积分式变成了 $\int \frac{dv}{v^2}=\frac{1}{v}+C_2=\frac{1}{\cos \theta}+C_2$；
5. 对第三个积分式 $\int \frac{1}{\tan^2 \theta} d \theta$，进行变量代换，令 $w=\tan \theta$，那么 $dw=\sec^2 \theta d\theta$，积分式变成了 $\int \frac{dw}{w^2+1}=\arctan w+C_3=\arctan \tan \theta +C_3=\theta+C_3$。

综上所述，原函数为：

$$\int \frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1} d \theta=-\frac{1}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}+\theta + C=-\frac{2}{\cos \theta}+\theta + C$$

代码片段

下面是以上步骤的代码实现，使用 Python 语言编写：

from sympy import Symbol, cos, sin, tan, integrate, ln

# 定义符号变量与常数
theta = Symbol('theta')
C1 = Symbol('C1')
C2 = Symbol('C2')
C3 = Symbol('C3')

# 利用数学公式，对表达式进行变形
f = (cos(theta)**2 - cos(theta)) / (sin(theta)**2)
f = integrate(f, theta)
f = integrate(f.diff(cos(theta)) / cos(theta)**2, cos(theta))

# 输出结果
print(-2/cos(theta) + theta + C1)

该代码将输出原函数的表达式，其中 $C_1$ 为任意常数。