RD Sharma解 – 第19章 不定积分 – 练习19.31

简介

本文介绍了RD Sharma解的第12类问题，涉及到不定积分的第19章第31项练习。在这个练习中，我们需要求解形如 $\int \frac{1}{x^3 + 1} dx$ 的不定积分问题。本文将提供解题思路和详细步骤，以及代码片段供程序员参考。

解题思路

为了解决这个不定积分问题，我们需要通过反三角公式、分部积分或者有理分式分解来寻找解决方法。考虑到积分中具有单位圆根式，因此我们可以使用 $x = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan t$ 进行代换，得到

$$ \int \frac{1}{x^3 + 1} dx = \int \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\tan^3 t + 1} dt $$

在这个式子中，我们可以看到 $\frac{1}{\tan^3 t + 1}$，这是一个奇怪的函数。为了解决这个问题，我们可以通过部分分式分解来把它转化为容易解决的式子。

步骤

1. 首先我们通过 $t = \arctan \sqrt[3]{x}$ 来进行函数的代换：

$$ \int \frac{1}{x^3 + 1} dx = \int \frac{1}{1 + \tan^3(\arctan \sqrt[3]{x})} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx $$

2. 然后，我们分解分母：

$$ 1 + \tan^3(\arctan \sqrt[3]{x}) = (1 + \tan(\arctan \sqrt[3]{x}))(1 - \tan(\arctan \sqrt[3]{x}) + \tan^2(\arctan \sqrt[3]{x})) $$

3. 我们使用 $\tan(\arctan x) = x$ 和 $\tan^2(\arctan x) = \frac{1}{\cos^2(\arctan x)} - 1$ 的关系，将分子分母代入得到：

$$ \int \frac{1}{x^3 + 1} dx = \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \cdot \frac{1}{3(1+\sqrt[3]{x})} dx - \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \cdot \frac{1}{3(1-\sqrt[3]{x})} dx + \int \frac{\cos^2(\arctan \sqrt[3]{x})}{\sqrt[3]{x^2}} dx $$

4. 模仿 $\cos^2 \theta = \frac{1}{2}(1+\cos(2\theta))$ ,我们使用 $\cos^2(\arctan \sqrt[3]{x}) = \frac{1}{2}(1 + \frac{x^{2/3}}{1+x^{2/3}})$，即可写出最终的解答:

$$ \int \frac{1}{x^3 + 1} dx = \frac{1}{3} \ln|\frac{1+\sqrt[3]{x}}{\sqrt{3}+3\sqrt[3]{x}+3(\sqrt[3]{x})^2}| - \frac{1}{3} \ln|\frac{1-\sqrt[3]{x}}{\sqrt{3}-3\sqrt[3]{x}+3(\sqrt[3]{x})^2}| + \frac{1}{6} \ln|\frac{x^{2/3}}{1+x^{2/3}}} + C $$

代码实现

以下为简单的 Python 代码，实现上述不定积分：

import math

def integrate(x):
    first = math.log(abs(1 + math.pow(x, 1/3)) / (math.sqrt(3) + 3 * math.pow(x, 1/3) + 3 * math.pow(x, 2/3))) / 3
    second = math.log(abs(1 - math.pow(x, 1/3)) / (math.sqrt(3) - 3 * math.pow(x, 1/3) + 3 * math.pow(x, 2/3))) / 3
    third = math.log(abs(math.pow(x, 2/3) / (1 + math.pow(x, 2/3)))) / 6
    return first - second + third + " + C"

这个函数接受一个 $x$ 参数，返回对应的不定积分结果。