门|门 CS 1999 |问题 20

简介

"门|门 CS 1999 |问题 20" 是一道久负盛名的编程题目，出现在了许多编程比赛和考试中。这道题目的难度较高，需要计算机科学专业的学生有扎实的数据结构和算法基础，并且掌握一定的编程技巧才能解决。

题目描述

给定一个 N 行 M 列的矩阵，其中每个元素都是一个非负整数。现在需要从左上角走到右下角，每次只能向右或向下走，求出走过的路径的元素和的最大值。

解题思路

对于这道题目，最容易想到的算法是暴力搜索，也就是枚举每一条路径，计算路径中元素的和，然后选取其中的最大值。但是，这种算法的时间复杂度是指数级别的，对于较大的矩阵来说是无法承受的。

更为高效的算法是使用动态规划。具体地说，我们可以维护一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从左上角走到第 i 行 j 列的元素时，走过的路径元素和的最大值。我们可以通过以下公式来更新 dp 数组：

dp[i][j] = matrix[i][j] + max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

其中，matrix[i][j] 表示第 i 行 j 列的元素。这个公式的含义是：我们可以从上一行的 dp 值以及左侧的 dp 值中取一个最大值，然后加上当前位置的值，就可以得到从左上角到当前元素位置的最大路径和。

最后，dp[N-1][M-1] 就是所求的答案。

代码示例

下面是一份 Python 代码的示例，用于解决这个问题：

def max_path_sum(matrix):
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])
    dp = [[0 for j in range(m)] for i in range(n)]
    
    dp[0][0] = matrix[0][0]
    for i in range(1, n):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0]
    for j in range(1, m):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j]

    for i in range(1, n):
        for j in range(1, m):
            dp[i][j] = matrix[i][j] + max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    
    return dp[-1][-1]

该函数接受一个矩阵作为参数，返回从左上角到右下角的最大路径和。这份代码中，我们先使用两个循环来处理边界情况（即第一行和第一列的 dp）；然后，我们通过两个嵌套循环来逐行逐列地计算 dp 值；最后，返回 dp[-1][-1]（即右下角的值）。