第 12 类 RD Sharma 解 – 第 20 章定积分 – 练习 20.2 |设置 1

简介

本文将介绍 RD Sharma 解的第 12 类，即第 20 章定积分中练习 20.2。这道题目涉及到定积分中的基本公式，需要注意积分上下限和被积函数的范围，同时需要注意换元积分法的应用。通过本文的介绍，程序员可以更好地理解这道练习，从而更好地完成定积分的计算。

题目描述

计算下列定积分：

∫(0到π/2) (x^2sinx)/(1+cosx) dx

解题思路

根据题目中给出的被积函数，我们可以使用乘法公式将其转换为一个较为简单的形式，即：(x^2/2) * 2sinx/(1+cosx)。

其中，(x^2/2) 为第一个被积函数，我们可以使用基本积分公式求得其积分为：(x^3/6)。

而第二个被积函数 2sinx/(1+cosx) 则可以通过换元积分法将其转换为：2tan(x/2)。

因此，原定积分可转换为：∫(0到π/2) (x^3/6) * 2tan(x/2) dx。

再利用分部积分公式，我们可以求得该式的积分：

∫(0到π/2) (x^3/6) * 2tan(x/2) dx

= [(x^3/3) * ln|sec(x/2)+tan(x/2)|] 0到π/2

= (π^3/24) * ln(1+√2)

因此，原定积分的结果为 (π^3/24) * ln(1+√2)。

代码实现

题目描述：
计算下列定积分：

∫(0到π/2) (x^2sinx)/(1+cosx) dx

解题思路：
根据题目中给出的被积函数，我们可以使用乘法公式将其转换为一个较为简单的形式，即：(x^2/2) * 2sinx/(1+cosx)。

其中，(x^2/2) 为第一个被积函数，我们可以使用基本积分公式求得其积分为：(x^3/6)。

而第二个被积函数 2sinx/(1+cosx) 则可以通过换元积分法将其转换为：2tan(x/2)。

因此，原定积分可转换为：∫(0到π/2) (x^3/6) * 2tan(x/2) dx。

再利用分部积分公式，我们可以求得该式的积分：

∫(0到π/2) (x^3/6) * 2tan(x/2) dx

= [(x^3/3) * ln|sec(x/2)+tan(x/2)|] 0到π/2

= (π^3/24) * ln(1+√2)

因此，原定积分的结果为 (π^3/24) * ln(1+√2)。