这些问题是GATE CS考试的练习目的。
问题1：关于可计数性，请考虑以下两个陈述：
- 陈述1：如果“ Y”的X并集不可数，则集合“ X”和集合“ Y”都必须不可数。
- 陈述2：两个可数集“ X”和“ Y”的笛卡尔积是可数的。
以下哪个选项是正确的?
(一)仅陈述1
(二)仅陈述2
(C)两种说法均属实
(D)没有
解释：
陈述1是不正确的，因为只有一组可以是不可数的，但不必两者都是。
Statement-2是正确的，因为两个可数集的笛卡尔积是可数的。
选项(B)为真。
问题2：请考虑以下语句：
- X：给定语法，检查语法是否不规则是可以确定的问题。
- Y：如果P是规则的，而Q不是规则的，则(PQ)必然是不规则的。
- Z：抽水引理可用于证明给定语言是规则的。
以下内容哪些是对的?
(A)仅X
(B)只有Y
(C) X和Z
(D) X和Y
解释：
X是可以确定的问题，因为您可以在某些生成的帮助下检查常规语法。因此，这句话是正确的。
Y是不正确的，例如P = null和Q = {a n b n | n≤0}，则PQ = null，这是常规的。
Z也是不正确的，因为，泵引理可以证明该语言不是正规的，但是不能证明该语言是正规的。
因此，选项(A)为true。
问题3：假设X和Y是任何两种上下文相关语言，而’R’是任何常规语言。那么以下哪项是正确的?
(A) R的X并集是规则的。
(B) Y的X交点是上下文相关的。
(C)称赞Y是上下文相关的语言。
(D)没有。
解释：
- (A) R = CSL的X联合R = CSL的联合但不规则。因此，这是不正确的。
- (B)两种上下文相关语言= CSL的交集，因为，上下文相关语言在交集下是封闭的。
- (C) CSL的补充= CSL，因为上下文相关的语言是免费封闭的。
选项(B)和(C)都是正确的。
问题4：考虑三个决策问题X，Y和Z。已知X是可确定的，而Y是不可确定的，那么以下哪一项是正确的?
(A)如果X可还原为Z，则Z是可确定的
(B)如果Z可还原为Y，则Z是不确定的
(C)如果Y可还原为Z，则Z是不确定的
(D)如果Z i可简化为Y的补码，则Z是可确定的。
解释：
假设存在两个问题，A和B。如果A不可确定且可简化为B，则B也是不可确定的；如果B可确定且可还原为A，则A也可确定。
因此，选项(C)是正确的。
问题5：以下哪项是可判定的?
(A)图灵机打印特定字母。
(B)图灵机计算两个数字的乘积。
(C)一台任意的图灵机经过五十步后停止运行。
(D)以上都不是。
解释：
选项(B)是正确的，因为图灵机可以计算任何数学运算。
选项(C)也是正确的，因为给出了步骤数，因此可以确定。
选项(B)和(C)都是正确的。