这些问题用于 GATE CS 考试的练习目的。
问题 1：考虑以下关于可数性的两个陈述：
- 语句 1：如果 ‘Y’ 的 X 并集是不可数的，那么集合 ‘X’ 和集合 ‘Y’ 都必须是不可数的。
- 语句 2：两个可数集 ‘X’ 和 ‘Y’ 的笛卡尔积是可数的。
以下哪个选项是正确的?
(A)仅声明 1
(B)仅陈述 2
(C)两个陈述都是正确的
(D)没有
解释：
Statement-1 是不正确的，因为只有一组可以是不可数的，但不必同时是两个。
语句 2 是正确的，因为两个可数集的笛卡尔积是可数的。
选项(B)是正确的。
问题 2：考虑以下陈述：
- X：给定一个文法，检查文法是否不正则是可判定的问题。
- Y：如果 P 是正则的，而 Q 不是正则的，那么 (PQ) 必然是非正则的。
- Z: Pumping lemma 可以用来证明给定的语言是正则的。
以下内容哪些是对的?
(A)只有 X
(B)只有 Y
(C) X 和 Z
(D) X 和 Y
解释：
X 是可判定问题，因为您可以借助一些产生式检查常规语法。所以，这个说法是正确的。
Y 不正确，例如反例 P= null 和 Q= {a n b n | n ≤ 0} 那么，PQ= null 是正则的。
Z 也不正确，因为，Pumping lemma 可以证明该语言不正则但不能证明该语言是正则的。
所以，选项(A)是正确的。
问题 3：考虑 X 和 Y 是任何两种上下文敏感语言，而“R”是任何常规语言。那么以下哪项是/是正确的?
(A) R 的 X 并集是正则的。
(B) Y 的 X 交点是上下文敏感的。
(C) Y 的补语是上下文相关的语言。
(D)没有。
解释：
- (A) R 的 X 并集 = CSL 的并集 R = CSL 但不规则。因此它是不正确的。
- (B)两个上下文敏感语言的交集 = CSL 因为，上下文敏感语言在交集下是封闭的。
- (C) CSL = CSL 的补充，因为上下文敏感的语言在补充下是封闭的。
选项(B)和(C)都是正确的。
问题 4：考虑三个决策问题 X、Y 和 Z。已知 X 是可判定的，Y 是不可判定的，那么以下哪个是正确的?
(A)如果 X 可归约为 Z，则 Z 是可判定的
(B)如果 Z 可归约为 Y，则 Z 不可判定
(C)如果 Y 可归约为 Z，则 Z 不可判定
(D)如果 Z i 可归约为 Y 的补码，则 Z 是可判定的。
解释：
假设有两个问题，A 和 B。如果 A 是不可判定的并且可以归约到 B，那么 B 也是不可判定的，如果 B 是可判定的并且可以归约到 A 那么 A 也是可判定的。
所以，选项(C)是正确的。
问题 5：以下哪个是可判定的?
(A)图灵机打印特定字母。
(B)图灵机计算两个数的乘积。
(C)任意图灵机在五十步后停止。
(D)以上都不是。
解释：
选项(B)是正确的，因为图灵机可以计算任何数学运算。
选项 (C) 也是正确的，因为给出了步骤数，因此它是可判定的。
选项(B)和(C)都是正确的。