先决条件： 矩阵和单位矩阵知识
介绍 ：
矩阵是按行和列排列的数字的集合。矩阵的元素必须用圆括号或方括号括起来。
例子 –
3 * 3矩阵是指一个3行3列共9个元素的矩阵。 (3*3 = 9)
一个 3*3 矩阵
单位矩阵：
单位矩阵是一个方阵，其中主对角线或主对角线的所有成员都是 1，其他所有元素都为零。
基本矩阵：
基本矩阵是可以通过对单位矩阵仅执行以下操作之一来从单位矩阵创建的矩阵：
- R1 – 2 行被交换。
- R2 – 将一行的元素乘以一个非零实数。
- R3 – 将另一行的相应元素的任意倍数添加到一行的元素中。
R1、R2 和 R3 是行运算，当应用于任何矩阵时，称为基本行运算。
- C1 – 2 列被交换。
- C2 – 将一列的元素乘以一个非零实数。
- C3 – 将另一列的相应元素的任意倍数添加到一列的元素中。
C1、C2 和 C3 是列运算，当应用于任何矩阵时，称为基本列运算。
我们知道单位矩阵总是方阵，所以初等矩阵总是方阵，因为它是从单位矩阵获得的。
例子 –
给定的矩阵 M 是基本的：
矩阵M
解释 –
正如我们所知，3 * 3 的单位矩阵：I 3给出为——
我3
通过应用 C1 – 在 I 3 中交换第 1 列和第 3 列，我们可以得到矩阵 M。所以 M 是一个初等矩阵。
初等矩阵的性质：
- 初等矩阵的非奇异性是显而易见的。此外，初等矩阵的逆也是初等矩阵。
- 如果方阵 A 可以表示为初等矩阵的乘积，则它是可逆的。
- 如果 A 是 n*n 矩阵，则 A 可以写为初等矩阵的乘积。
- 初等矩阵总是方阵。
- 如果初等矩阵 E 是对 I m执行特定的行操作得到的，A 是 am*n 矩阵，那么乘积 EA 就是对 A 进行相同的行操作得到的矩阵。
1. 给定矩阵 M ，求其是否初等。
矩阵M
解决方案 ：
由于矩阵不是方阵，所以它不能是初等矩阵。
2. 给定矩阵 M ，求其是否初等。
矩阵M
解决方案 ：
大小为 2 * 2 的单位矩阵表示为：
矩阵 I 2
如果我们将 I2 的第二行乘以 -3，我们将得到 M 作为结果。所以，M 是一个初等矩阵。
3. 给定矩阵 M ，求其是否初等。
矩阵M
解决方案 ：
大小为 3 * 3 的单位矩阵显示为 –
矩阵 I 3
如果我们在 I 3上执行执行操作：R1 = R1 * 6，我们将得到 –
但是现在这个合成矩阵不等于 M。
因此，我们不能以从 I3 获得给定矩阵 M 的方式执行任何单行/列操作。
所以 M 不是初等矩阵。