博弈论（正态博弈） |组4（优势属性-纯策略）

在某些游戏中，可以通过分别消除由其他行(或列)支配的行(或列)来减小收益矩阵的大小。

行的支配属性： X ≤ Y 即如果特定行X 的所有元素小于或等于另一行Y的相应元素，则删除行X (行X由行Y支配)。特定行X的元素也可以与两个或更多其他行的平均值进行比较，如果行X的元素在取平均值后小于或等于相应元素，则删除行X 。

列的支配属性： X ≥ Y 即如果特定列X 的所有元素都大于或等于另一列Y的相应元素，则删除列X (列X由列Y支配)。也可以将 X列的元素与两列或更多列的平均值进行比较，如果取平均值后 X列的元素大于相应的元素，则删除X列。

考虑下面的游戏：

解决方案：
纯策略：纯策略对上述游戏的解决方案是，
– 游戏价值 (V) = 8
– A[P1, P2, P3, P4] = A[0, 0, 1, 0]
– B[Q1, Q2, Q3, Q4, Q5] = B[1, 0, 0, 0, 0]
在哪里，
P1、P2、P3 和 P4 分别是玩家 A 的策略 1、2、3 和 4 的概率。
Q1、Q2、Q3、Q4 和 Q5 分别是玩家 B 的策略 1、2、3、4 和 5 的概率
对于两个玩家，总概率为 1。

支配属性：使用支配属性也会得到同样的结果。
– 取每行的总数并从中选择最少的。

– 使用行的优势属性，第 4 行的元素小于第 3 行的元素，即第 4 行由第 3 行支配。删除第 4 行。

– 在剩余的“行总数”中选择最小值并应用优势属性。

– 使用优势属性，第 1 行由第 3 行支配。删除第 1 行。

– 选择剩余值中的最小值，即39 是最少的，同时应用优势属性可以看出行优势的条件不满足。现在，应用列的优势属性。

– 取每列的总数(仅从剩余的行中)并选择其中最大的。

– 使用列的优势属性，第 4 列由第 1 列支配。删除第 4 列。

– 在剩余的列值中选择最大的。

– 使用列的优势属性，第 5 列由第 1 列支配。删除第 5 列。

– 在剩余的列值中选择最大的。

– 使用列的支配属性，列 2 由列 1 支配。删除该列。

– 再次选择最大值(即 16)。现在，在应用支配属性时，不会发现支配。现在，再次进行行减少。

– 找到行总数并从中选择最少的。

– 使用行的支配属性，第 2 行由第 3 行支配。删除第 2 行。

– 现在只有一行(无需查找列总数)，还剩下两列。为列应用优势属性。

– 只剩下一个价值，那就是游戏的价值。

所以我们有，
– 游戏价值 (V) = 8
– A[P1, P2, P3, P4] = A[0, 0, 1, 0]
– B[Q1, Q2, Q3, Q4, Q5] = B[1, 0, 0, 0, 0]
在哪里，
P1、P2、P3 和 P4 分别是玩家 A 的策略 1、2、3 和 4 的概率。
Q1、Q2、Q3、Q4 和 Q5 分别是玩家 B 的策略 1、2、3、4 和 5 的概率
对于两个玩家，总概率为 1。

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