第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 13 章作为速率测量器的导数 - 练习 13.2 |设置 2

问题 17. 当梯子开始向外滑动时，一个 6 米长的梯子顶部靠在水平路面上的垂直墙上。在梯脚离墙4米的瞬间，梯子以0.5m/sec的速度滑离墙。在这种情况下，顶部向下滑动的速度有多快？当它和顶部以相同的速度移动时，脚离墙多远？

解决方案：

Let the foot of the ladder be at a distance of x meter from the base of the wall and its top be at a distance of y meter above the ground.

Using Pythagoras Theorem we can get, x² + y² = 36

⇒ 2x$\frac{\mathrm{d} x }{\mathrm{d} t}$= -2y$\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} t}$……………………..(eqn 1)

when x = 4, y = 2√5

⇒ 2 x 4 x 0.5 = -2 x 2√5$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$

⇒$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$= -1/√5 m/sec

Now using eqn 1, we can write

⇒ 2x$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$= -2y$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$

⇒ x = -y

Putting x = -y in x² + y² = 36, we get

⇒ 2x² = 36 ⇒ x = 3 √2 meter

问题 18. 一个直圆锥形的气球被一个半球覆盖，其直径等于圆锥的高度，正在充气。当 h = 9 cm 时，其体积相对于其总高度 h 的变化速度有多快。

解决方案：

Let r be the radius of the hemisphere and the cone has height h and volume of the compound arrangement be V, then according to the figure,

⇒ H = h+ r

⇒ H = 3r [Since, h = 2r]

⇒$\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}$= 3$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$———————(eqn. 1)

Now, volume of the compound arrangement is:

V = $\frac{1}{3} \pi r^2 h+ \frac{2}{3} \pi r^3$

⇒ V = $\frac{2}{3} \pi r^3+ \frac{2}{3} \pi r^3$[ h = 2r]

⇒ V = $\frac{4}{3} \pi r^3$

⇒$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= $4 \pi r^2\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} = \frac{4}{3} \pi r^2 \frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t} [using equation 1]

⇒$\frac{dV}{dH}$= $\frac{4}{3}\pi (3)^2$

⇒$\frac{dV}{dH}$= 12$\pi$cm³/sec

问题 19. 水以每分钟 π 立方米的速度流入倒锥形。圆锥体的高度为 10 米，其底部的半径为 5 m。当水位低于底座 7.5 m 时，水位上升的速度有多快。

解决方案：

Let r be the radius, h be the height and V be the volume of the cone at any time t.

V = πr²h/3

$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= $\frac{1}{3} \pi r^2\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} + \frac{2}{3}\pi rh\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

From the image we can conclude,

h = 2r and$\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} = 2 \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= $\frac{1}{3}\pi(\frac{h}{2})^2h\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$+$\frac{2}{3}\pi(\frac{h}{2})h\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$

⇒$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= $\frac{\pi h^2}{6}\left [ \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} + \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} \right ]$

⇒$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= $\frac{\pi h^2}{6} \times \left [ \frac{3}{2}\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} \right ]$

⇒$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= $\frac{\pi h^2}{4}.\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$

⇒$\frac{\pi h^2}{4}.\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$= $\pi$

⇒$\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} = \frac{4}{h^2}$

⇒$\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} = \frac{4}{(2.5)^2}$

⇒$\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$= 0.64 m/min

问题 20. 一个 2 米高的人以 6 公里/小时的匀速步行离开 6 米高的灯柱。找出他的影子长度增加的速率？

解决方案：

Since,$\triangle$MNO ∼$\triangle$XYO,

$\frac{MN}{XY}$= $\frac{NO}{YO}$

⇒$\frac{6}{2}$= $\frac{m+n}{m}$

⇒ m/n = 2

⇒ m = 2n

⇒$\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t} = 2 \frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} t}$

⇒6 = 2$\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} t}$

⇒$\frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} t}$= 3 km/hr

问题 21. 球形气泡的表面积以 2 cm ² /s 的速度增加。当气泡的半径为 6 厘米时，气泡的体积以什么速度增加？

解决方案：

Let r, S, V be the radius, surface area, volume of the spherical bubble respectively.

The surface area is increasing, therefore$\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t}$= 2 cm²/s

Since, surface area of a spherical bubble is given by S = 4πr²

⇒$\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t}$= 8πr$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ 2 = 8πx6$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$= $\frac{1}{24\pi}$cm/sec

We know, V = $\frac{4}{3}\pi r^3$

⇒$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= 4πr²$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= 4π x 36 x$\frac{1}{24 \pi}$

⇒$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= 6 cm³/sec

问题 22. 圆柱体的半径以 2 厘米/秒的速度增加。它的高度以 3 厘米/秒的速度下降。求半径为 3 cm、高度为 5 cm 时体积的变化率。

解决方案：

Le r be the radius and h be the altitude and V be the volume of the cylinder, then as per given

$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$= 2 cm/sec and$\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$= -3 cm/sec

Volume of cylinder is given by:

V = πr²h

⇒$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= 2πrh$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$+ πr²$\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$

⇒$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= πr$\left (2h\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}+r \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} \right )$

⇒$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= π x 3 (2 x 5 x 2 + 2 x (-3) )

⇒$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= 33π cm³/sec

问题 23.空心球中金属的体积是恒定的。如果内半径以 1 厘米/秒的速度增加，求半径分别为 4 厘米和 8 厘米时外半径的增加速度。

解决方案：

Let the outer radius be represented by R and inner radius be represented by r. Now, Volume of the hollow sphere is given by

V = $\frac{4}{3}\pi [R^3 - r^3]$

⇒$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= 4π$\left [ R^2 \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t} - r^2 \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} \right ]$

Since, volume is constant,$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= 0

⇒$R^2 \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t} = r^2 \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ 64$\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t}$= 16 x 1

⇒$\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t}$= $\frac{1}{4}$cm/sec

问题 24.沙子以 50 cm ³ /min 的恒定速率倒在锥形堆上，使得锥形堆的高度始终是其底部半径的一半。当沙子有 5 厘米深时，桩的高度增加的速度有多快？

解决方案：

Let r be the radius, h be the height and V be the volume of conical pile. Now, volume of conical pile is given as:

V = $\frac{1}{3}\pi r^2h$

⇒ V = $\frac{1}{3}\pi (2h)^2 h$[Since, h = r/2]

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= $\frac{4}{3}\pi h^3$

⇒$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= 4πh²$\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$

⇒ 50 = 4πh²$\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$

⇒$\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$= $\frac{50}{100\pi}$

⇒$\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}$= $\frac{1}{2\pi}$cm/min

问题 25.风筝高 120 m，字符串长 130 m。如果风筝以 52 m/sec 的速度水平移动，请找出放字符串的速度。

解决方案：

From the above figure, we can infer using Pythagoras Theorem

MN² + NO² = MO²

⇒ x² + (120) = y²

⇒ 2$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$= 2y$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$

⇒$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$= $\frac{x}{y}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

Now, x = $\sqrt{(130)^2 - (120)^2}$= 50

⇒$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$= $\frac{50}{130}$x 52

⇒$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$= 20 m/sec

问题 26.一个粒子沿着曲线 y = (2/3)x ³ + 1 移动。找到曲线上 y 坐标变化速度是 x 坐标变化速度两倍的点。

解决方案：

Given y = $\frac{2}{3}$x³ + 1

⇒$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$= 2x²$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

It is also given that, y-coordinate is changing twice as fast as the x-coordinate, therefore$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = 2\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

⇒$2\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$= $2x^2\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

Solving the above equation, we get x = ±1

Substituting the value of x in above given equation y = 5/3 and y = 1/3

So the coordinates of the point are$\left ( 1,\frac{5}{3} \right )$and$\left ( -1,\frac{1}{3} \right )$

问题 27.找到曲线 y ² = 8x 上横坐标和纵坐标以相同速率变化的点？

解决方案：

Given, y² = 8x

⇒ 2y$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$= 8$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

Now, since abscissa and ordinate change at the same rate, therefore$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

⇒ 2y = 8

⇒ y = 4

Therefore, substituting the value of y in original equation. we get

16 = 8x ⇒ x = 2

Hence, the co-ordinate of the point is (2,4)

问题 28.立方体的体积以 9 cm ³ /sec 的速度增加。当边长为 10 厘米时，表面积增加的速度有多快？

解决方案：

Let the edge of the cube be denoted by a and its volume be denoted by V.

We know, Volume of cube, V = a³

⇒ $\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= 3a²$\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}$

⇒ 9 = 3 x (10)²$\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}$

⇒$\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}$= 0.03 cm/sec

Now, let the surface area of cube be given by A = 6a²

⇒$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$= 12a$\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}$

⇒$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$= 12 x 10 x 0.03

⇒$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$= 3.6 cm²/sec

问题 29。球形气球的体积以 25 cm ³ /sec 的速度增加。求半径为 5 cm 瞬间其表面积的变化率？

解决方案：

Let r be the radius, V be the volume and S be the surface area of the spherical balloon.

We know, V = $\frac{4}{3}$πr³

⇒$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}$= 4πr²$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ 25 = 4π (5)²$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$= $\frac{1}{4\pi}$cm/sec

Also, surface area, A = 4πr²

⇒$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$= 8πr$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$= 8π x 5 x$\frac{1}{4\pi}$

⇒$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$= 10 cm²/sec

问题 30. (i)矩形的长度 x 以 5 厘米/分钟的速度减少，宽度 y 以 4 厘米/分钟的速度增加。当 x = 8 cm 和 y = 6 cm 时，求周长的变化率？

(ii) 矩形的长度 x 以 5 厘米/分钟的速度减少，宽度 y 以 4 厘米/分钟的速度增加。当 x = 8 cm 和 y = 6 cm 时，求矩形面积的变化率？

解决方案：

We are given,$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$= -5cm/min and$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$= 4cm/min

(i) We know, perimeter of a rectangle P = 2(x + y)

⇒ $\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t}$= 2 ($\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$+$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$)

⇒$\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t}$= 2 (-5 + 4)

⇒$\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} t}$= -2 cm/min

(ii) Also, Area of rectangle A = xy

⇒$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$= x$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$+ y$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

⇒ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$= 8 x 4 + 6 x (-5)

⇒$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$= 2 cm²/min

问题 31.正在加热一个半径为 3 厘米的圆盘。由于膨胀，它的半径以 0.05 厘米/秒的速度增加。求半径为 3.2 cm 时其面积增加的速率。

解决方案：

Let r be the radius and A be the area of circular disc respectively.

Then A = πr²

⇒$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$= 2πr$\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}$

⇒$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$= 2π x 3.2 x 0.05

⇒$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}$= 0.32π cm²/sec