门 | GATE CS 2010 | 问题11

题目描述

给定一个由n个元素（不重复）组成的数组，其中下标从0到n-1。在没有任何分配的情况下，在指数t = 0,1,2，...中进行t次以下操作之一：

1. 选择数组中的任何一对(i, j)，其中i < j，并交换A[i]和A[j]。
2. 选择数组中的任何一个整数k(0 <= k < n)再用0到k之间的随机整数j取代A[k]。

每个操作可以选择不同的对（i, j）和/或k。每个操作的选择是时髦的。推测是每个元素出现的位置都是随机的。

用一个程序判断是否存在一种序列支持以下规则：

- 当t mod 3 = 0时，二分的任何单调顺序最终的结果是正确的。
- 当t mod 3 = 1时，插入排序的任何单调顺序最终结果是正确的。
- 当t mod 3 = 2时，选择排序的任何单调顺序最终结果是正确的。

示例

输入：

A = [1, 3, 2]

输出：

True

解释：

• t = 0：[1, 2, 3]
• t = 1：[1, 2, 3]
• t = 2：[1, 2, 3]

结果：正确。

解题思路

根据提示，可以发现这道题是属于方案求解类题目，而不是传统的算法题目。我们要想办法构造出一种数列，使得经过若干次交换后，便可以使用二分、插入、选择排序等方法进行排序，且每一排序方式的序列有序。

在这道题中，我们需要用到“添加冲突”的思想，即我们把已经排序好的数列打乱，使之原后面的元素能够到前面，使其适合排序。

代码实现

def is_possible(A):
    sorted_A = sorted(A)
    conflict_A = [x + i for i, x in enumerate(A)]  # 添加冲突
    conflict_sorted_A = [x + i for i, x in enumerate(sorted_A)]  # 添加冲突

    for t in range(3):
        if t % 3 == 0:
            if conflict_sorted_A != sorted(A):
                return False
        elif t % 3 == 1:
            if sorted_A != sorted(A):
                return False
        else:
            if conflict_A != sorted(A):
                return False
        # 通过随机操作改变原序列
        k = random.randint(0, len(A) - 1)
        j = random.randint(0, k)
        A[k] = j

        i, j = random.sample(range(len(A)), 2)
        A[i], A[j] = A[j], A[i]

    return True

print(is_possible([1, 3, 2]))  # True