博弈论(普通形式的博弈)|第三组(混合策略游戏)

考虑关于玩家A的以下收益矩阵，并对其进行优化求解。

解决方案：
如果游戏没有鞍点，则称该游戏具有混合策略。

• 第1步：找出最小行数和最大列数。
  
• 步骤2：找出最小最大值和最大值。
  
  由于该游戏的极大极小值和极小值不相等，因此该游戏没有鞍点。
• 步骤3：现在取2×2矩阵，找出行和列的奇数。
  
  赔率：取第一行的最高结果和最小结果之间的差，并将其放在第二行的右侧(请参见上图)，即9和7之间的差为2，并将其放在第二行的右边。类似地，取第二行中最高结果与最低结果之间的差，并将其放在第一行的右边，即11与5之间的差为6，并放在第一行的右边。同样，也可以找到列的奇数。取一列的较大和较小结果之间的差，并将其放在另一列的底部。 11 – 7 = 4位于第一列的底部，而9 – 5 = 4位于第二列的底部。
• 步骤4：现在找到每一行的概率。
  使用公式
  
  令x和(1-x)为玩家A的策略选择概率，而y和(1-y)为玩家B的策略选择概率，则
  
  和，
  

  不使用公式
  
  计算概率：对应的几率/行或列的几率之和，即
  对于P1，行1的奇数值为6，两行的奇数值之和为8，因此P1 = 6 /(6 + 2)= 3/4
  对于P2，第2行的奇数值为2，而两行的奇数值之和为8，因此P2 = 2 /((6 + 2)= 1/4
  对于Q1，第1列的奇数值为4，而两列的奇数值之和为8，因此Q1 = 4 /(4 + 4)= 1/2
  对于Q2，第2列的奇数值为4，而两列的奇数值之和为8，因此Q2 = 4 /(4 + 4)= 1/2

• 步骤5：找到游戏的价值。
  使用公式
  
  不使用公式
  有四种方法可以找到游戏的价值。
  拿第一列。现在，将第一列的元素与相应的行奇数相乘，然后相乘两次，然后将其除以行的总奇数。
  V =(9 * 6 + 5 * 2)/(6 + 2)=(54 + 10)/ 8 = 64/8 = 8。
  或者，
  拿第二列。现在，将第二列的元素与相应的行奇数相乘，然后相乘两次，然后将其除以行的总奇数。
  V =(7 * 6 + 11 * 2)/(6 + 2)=(42 + 22)/ 8 = 64/8 = 8。
  或者，
  采取第一行。现在，将第一行的元素与相应的列奇数相乘，然后相加两次，然后将其除以列的总奇数。
  V =(9 * 4 + 7 * 4)/(4 + 4)=(36 + 28)/ 8 = 64/8 = 8。
  或者，
  采取第二行。现在，将第二行的元素与相应的列奇数相乘，然后相加两次，然后除以列的总奇数。
  V =(5 * 4 + 11 * 4)/(4 + 4)=(20 + 44)/ 8 = 64/8 = 8。
• 步骤6：因此，玩家A的策略为(3/4，1/4)，玩家B的策略为(1/2，1/2)，游戏的价值为V = 8。每个玩家选择每种策略的概率小于1，但各个玩家的总概率为1。玩家A的总概率为3/4 + 1/4 = 1，而玩家B的总概率为1/2 + 1/2 = 1。