第12类RD Sharma解决方案–第23章，矢量代数–练习23.3

简介

第12类RD Sharma解决方案是一个数学学习资源，可以帮助学生解决矢量代数和三角学等数学问题。本文介绍的是“矢量代数”这一章节中的“练习23.3”，其中包含了很多与矢量运算相关的问题。

本解决方案旨在帮助程序员更好地理解并实现这些矢量运算。

练习23.3的问题

本章节的练习23.3包含以下三个问题：

1. 计算向量$ \vec{a}$，$\vec{b}$和$\vec{c}$的向量积，其中$ \vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$，$\vec{b} = -\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$，$\vec{c} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$。

2. 如果$ \vec{a}$，$\vec{b}$和$\vec{c}$是向量平面$P$上的三个非共线向量，则证明向量$\vec{d}=\vec{a} +\vec{b}+\vec{c}$也在平面$P$上。

3. 如果$\vec{a}$，$\vec{b}$和$\vec{c}$在同一平面内，则证明$\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0$。

解决方案

问题一

向量积可以通过行列式来求解，在向量代数中，向量的行列表示为：

$ \begin{bmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ \end{bmatrix} $

其中，$\hat{i}$、$\hat{j}$和$\hat{k}$是三个独立的单位向量。在这个矩阵中，第一行是单位向量，其余两行是需要计算向量积的两个向量。

根据题目中的向量，我们可以列出向量的行列式：

$ \begin{bmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ {2} & {3} & {-1} \ {-1} & {4} & {-5} \ \end{bmatrix} $

然后，可以用$2\times2$的伴随矩阵来计算行列式。伴随矩阵是将矩阵的元素按某种方式排列后，取它们的代数余子式的行列式。这个矩阵的伴随矩阵是：

$ \begin{bmatrix} 12 & -7 & -2 \ 11 & 2 & 8 \ -1 & 2 & 2 \ \end{bmatrix} $

然后，我们就可以计算行列式：

$ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ {2} & {3} & {-1} \ {-1} & {4} & {-5} \ \end{vmatrix} = 12\hat{i}-7\hat{j}-2\hat{k} $

因此，向量积为$12\hat{i}-7\hat{j}-2\hat{k}$。

问题二

证明向量$\vec{d}=\vec{a} +\vec{b}+\vec{c}$也在平面$P$上，我们需要证明向量$\vec{d}$和向量$\vec{a}$，$\vec{b}$和$\vec{c}$在同一平面内。

两个向量在同一平面内，当且仅当它们的向量积为零。因此，我们需要证明：

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = 0$

扩展这个式子，可以得到：

$ \begin{aligned} &(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times (\vec{a} +\vec{b}+\vec{c})) = 0 \ \Leftrightarrow &[(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}] + [(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{a} +\vec{b}+\vec{c})] = 0 \ \Leftrightarrow &[(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}] + [(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}] + [(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b}] + [(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}] = 0 \ \Leftrightarrow &[(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}] + 0 + 0 + [(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}] = 0 \ \Leftrightarrow &2(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0 \ \Leftrightarrow &(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0 \ \end{aligned} $

因此，可以证明向量$\vec{d}=\vec{a} +\vec{b}+\vec{c}$在平面$P$上。

问题三

证明$\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0$，我们需要证明向量$\vec{a}$垂直于向量$\vec{b}\times\vec{c}$，即：

$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$

然而，$\vec{a}$并不一定垂直于向量$\vec{b}\times\vec{c}$。因此，我们需要先证明向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$和$\vec{c}$所在平面内，然后再证明向量$\vec{a}$垂直于向量$\vec{b}\times\vec{c}$。

如果$\vec{a}$，$\vec{b}$和$\vec{c}$在同一平面内，那么，可以用向量$\vec{b}-\vec{a}$和向量$\vec{c}-\vec{a}$作为这个平面的两个矢量，来证明$\vec{a}$在这个平面内。

$\because \vec{b}$和$\vec{c}$在同一平面内

$\therefore(\vec{b}-\vec{a})\times(\vec{c}-\vec{a})=(\vec{b}\times\vec{c})-(\vec{a}\times\vec{b})-(\vec{c}\times\vec{a})+\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}$

$\therefore(\vec{b}-\vec{a})\perp(\vec{c}-\vec{a})$

$\therefore\vec{a}$，$\vec{b}$和$\vec{c}$在同一平面内。

接下来，我们需要证明向量$\vec{a}$垂直于向量$\vec{b}\times\vec{c}$：

$ \begin{aligned} \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) &= (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \ &= -(\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{c} \ &= -(\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} \ &= -\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b}) \ &= -\vec{a} \cdot [-(\vec{b} \times \vec{c})] \ &= \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \ \end{aligned} $

因此，$\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0$。

结论

通过上述解决方案，我们可以得出以下结论：

1. 向量$ \vec{a}$，$\vec{b}$和$\vec{c}$的向量积为$12\hat{i}-7\hat{j}-2\hat{k}$。
2. 向量$\vec{d}=\vec{a} +\vec{b}+\vec{c}$也在平面$P$上。
3. 如果$\vec{a}$，$\vec{b}$和$\vec{c}$在同一平面内，则$\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=0$。

可以通过这些结论来解决类似于这些矢量代数问题，并在程序中实现它们。