RD Sharma解-第19章不定积分-练习19.30 |套装1

RD Sharma是印度最著名的数学教师之一，他的数学教科书是印度学生的必备品。其中包括了不定积分的章节，本文介绍的是他的第12类RD Sharma解-第19章不定积分-练习19.30 |套装1。

这一章节涵盖了不定积分求解的不同方法，包括换元积分法、分部积分法和三角函数积分法。练习19.30是其中最具有挑战性的问题之一，需要运用不同的积分方法来求解。

套装1

练习19.30 |套装1是一个较为复杂的问题，它要求我们用三种不同的方法来求解不定积分，并比较它们的结果。以下是三种方法：

1. 用换元积分法求解；
2. 用分部积分法求解；
3. 用三角函数积分法求解。

在进行这个问题的求解之前，需要先学习这三种不同的方法并熟练掌握它们的应用。在掌握这些方法之后，可以进行练习19.30的求解。

代码片段

以下是一个用Python语言编写的代码片段，它展示了如何用这三种不同的方法来求解练习19.30 |套装1的不定积分，并比较它们的结果。这个代码片段返回了一个markdown格式的文本段落，其中包括了不同方法的求解步骤和结果比较。

## 换元积分法

我们可以把不定积分的被积函数表示成 $2\cos^2x - \cos^4x$ 的形式。然后令 $t = \tan x$，把被积函数中的 $\cos x$ 用 $\tan x$ 来表示，就得到了如下的结果：

$$\int 2\cos^2x - \cos^4xdx = \int \frac{2}{1+t^2}dt - \int \frac{(1+t^2)^2 - 4t^2}{(1+t^2)^4}dt$$

对上述式子进行分解和化简，可以得到以下的结果：

$$\int 2\cos^2x - \cos^4xdx = 2\tan^{-1}t + \frac{2t^2 +1}{2}\frac{1}{(1+t^2)^2} + \frac{2}{(1+t^2)^2}$$

将 $t$ 替换回 $\tan x$，即可得到最终的结果：

$$\int 2\cos^2x - \cos^4xdx = 2\tan^{-1}(\tan x) + \frac{2\tan^2x +1}{2}\frac{1}{(1+\tan^2x)^2} + \frac{2}{(1+\tan^2x)^2}$$

## 分部积分法

我们可以把不定积分的被积函数表示成 $x\sin^3x\cos^2x$ 的形式。然后对其进行分部积分，可以得到以下的结果：

$$\int x\sin^3x\cos^2xdx = -\frac{1}{5}x\cos^5x + \frac{1}{5}\int \cos^5xdx$$

对 $\int \cos^5xdx$ 进行类似的分部积分，可以得到以下的结果：

$$\int \cos^5xdx = \frac{5}{6}\cos^3x\sin x + \frac{3}{2}\int \cos^3xdx - \frac{15}{16}\int \cos xdx$$

再对 $\int \cos^3xdx$ 进行分部积分，可以得到以下的结果：

$$\int \cos^3xdx = \frac{3}{4}\cos x\sin x + \frac{1}{4}\cos^3x$$

将上述的结果代回原式，就得到了最终的结果：

$$\int x\sin^3x\cos^2xdx = -\frac{1}{5}x\cos^5x + \frac{1}{5}\left[\frac{5}{6}\cos^3x\sin x + \frac{3}{2}\left(\frac{3}{4}\cos x\sin x + \frac{1}{4}\cos^3x\right) - \frac{15}{16}\sin x\right]$$

$$\int x\sin^3x\cos^2xdx = -\frac{1}{5}x\cos^5x + \frac{1}{10}\cos^3x\sin x + \frac{9}{40}\sin x\cos x + \frac{3}{40}\cos^3x$$

## 三角函数积分法

我们可以把不定积分的被积函数表示成 $\cos^4x - \cos^2x$ 的形式。然后分别用 $\cos 2x$ 和 $\cos^2x$ 来代替 $\cos^4x$ 和 $\cos^2x$，就得到了以下的结果：

$$\int \cos^4x - \cos^2xdx = \int \cos^2x(1-\sin^2x)dx - \int \cos^2xdx$$

对上述的式子进行化简，可以得到以下结果：

$$\int \cos^4x - \cos^2xdx = \frac{1}{3}\cos^3x - \frac{1}{5}\cos^5x - \frac{1}{3}\cos x + C$$

## 结果比较

将三种方法得到的结果进行比较，可以发现，它们是一样的。这说明了在不定积分的求解中，不同的方法可以得到一样的结果，这也说明了不定积分的求解是有很大的灵活性的。

因此，在求解不定积分的时候，我们应该灵活运用各种不同的方法，以便得到最简单和最便于计算的结果。