RD Sharma解决方案–第10章同余三角形-练习10.6

RD Sharma解决方案是一个解决数学问题的工具书，其中包含了大量的例题和习题，可以帮助学生提高数学水平。第10章同余三角形是其中的一个章节，而练习10.6则是其中的一个练习。

练习10.6的内容

练习10.6要求我们证明：如果 $ABCD$ 是一个平行四边形，对于平面内任意一点 $P$，线段 $AP$、$BP$、$CP$、$DP$ 分别与线段 $CD$ 等分，则 $ABCD$ 是一矩形。

解决方案

要证明这个命题，我们可以利用同余三角形的性质，如下所述：

• 如果两个三角形的两边分别相等，并且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
• 如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。

基于这些性质，我们可以通过将图形进行平移、翻转等操作，并利用角度和线段等的相等关系，构造出一些相似或全等的三角形，以证明所给出的命题。

我们可以先将平行四边形 $ABCD$ 根据线段 $CD$ 为对称轴将其进行对称翻转，得到平行四边形 $AB'C'D$，如下图所示：

既然线段 $AP$ 与线段 $CD$ 等分，那么线段 $AP$ 与线段 $DP$ 也一定等分。我们将这两条线段分别作为直线 $k_1$ 和直线 $k_2$，并画出它们的中位线 $m_1$ 和 $m_2$。根据同余三角形的性质，线段 $AB'$ 上的任意一点在 $m_1$ 和 $m_2$ 的映射下分别对应线段 $B'C'$ 上的唯一一点，于是可知：

$$ AB' = B'C' $$

同理，根据线段 $BP$ 和 $CP$ 等分线段 $CD$ 的性质，我们还可以得到：

$$ BC' = C'D $$

将上面两个结论相加，可得：

$$ AB' + BC' = B'C' + C'D $$

即

$$ AB' + BC' = BD $$

因此，我们可以得出结论：线段 $AB'$、$BC'$、$BD$ 都相等，即 $ABCD$ 是一个矩形。

代码实现

由于这道题目属于纯几何题目，因此并不需要代码实现。以上解题思路已经十分详细地阐述了如何证明该命题。