第12类RD Sharma解决方案-第五章矩阵代数-练习5.5

简介

RD Sharma解决方案是印度RD Sharma教授编写的高中数学教材《数学》（Mathematics）中的解决方案。这些解决方案旨在帮助学生理解数学中的概念和方法，并提供适当的指导和练习以巩固他们的知识。第五章矩阵代数是高中数学中重要的一部分，它可以帮助学生了解矩阵和它们在数学中的应用。练习5.5是该章的一部分，涵盖了多种问题，包括线性方程组和矩阵乘法等。

练习5.5

练习5.5包括不同难度等级的问题，从基本的理解矩阵乘法到解决线性方程组。

基本问题

Problem 1

已知矩阵$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$和$B=\begin{pmatrix} 9 & 8 & 7 \ 6 & 5 & 4 \ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, 计算矩阵$A+B$。

解答：

$A+B={\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}} + {\begin{pmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 10 & 10 & 10 \\ 10 & 10 & 10 \\ 10 & 10 & 10 \end{pmatrix}}$

Problem 2

已知矩阵$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$和$B=\begin{pmatrix} 9 & 8 & 7 \ 6 & 5 & 4 \ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, 计算矩阵$A-B$。

解答：

$A-B={\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}} - {\begin{pmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} -8 & -6 & -4 \\ -2 & 0 & 2 \\ 4 & 6 & 8 \end{pmatrix}}$

Problem 3

计算矩阵$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$和矩阵$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$的积$AB$和$BA$。

解答：

$AB={\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}}$

$BA={\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}}$

进阶问题

Problem 4

Solve the system of equations:

$ x+2y+3z=6 \ 2x+3y+z=7 \ 3x+y+2z=8 $

解答：

我们可以用矩阵乘法解决这个问题。设$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1 \\3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，$X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}$。那么原方程组可以改写成$AX=B$。我们可以将方程组写成增广矩阵的形式：

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 6 \\2 & 3 & 1 & 7 \\3 & 1 & 2 & 8 \end{pmatrix}$

现在，我们可以对增广矩阵进行消元操作：

$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 6 \\0 & -1 & -5 & -5 \\0 & -5 & -7 & -10 \end{pmatrix}$

再进行回带求解：

$z=1,y=2,x=1$

所以，这个方程组的解为$x=1,y=2,z=1$。

总结

本文介绍了第五章矩阵代数中的练习5.5。这些问题涵盖了矩阵乘法、线性方程组等话题，并且包括从基本问题到进阶问题的不同难度等级。RD Sharma解决方案提供了清晰的解决方案和指导，有助于学生理解数学概念和方法。