门 | GATE-CS-2007 | 第 49 题

这是一道经典的计算机科学问题，通常出现在计算机领域的考试中，如 GATE（Graduate Aptitude Test in Engineering）。

题目描述

假设有一把门，其初始状态是关闭的。对该门进行一系列操作后，门的最终状态是打开的。例如，第一次操作将门关闭，第二次操作将门打开，第三次操作将门关闭...以此类推。操作次数和门编号的关系如下：

• 第一次操作：将每一扇门都打开，即关闭所有门；
• 第二次操作：每隔一个门，将其状态取反（如果是关闭的，则打开；如果是打开的，则关闭）；
• 第三次操作：每隔两个门，将其状态取反；
• 第四次操作：每隔三个门，将其状态取反；
• ...
• 第 N 次操作：每隔 N-1 个门，将其状态取反。

给定一个门的数量 N，你需要编写一个程序来确定最终哪些门是打开的。返回打开门的编号，以 markdown 格式返回。

输入

一个正整数 N，表示门的数量。

输出

一个列表，包含最终打开的门的编号，按升序排列。

示例

输入：

5

输出：

[1, 4]

解释

在第 5 次操作完成后，第 1 和第 4 个门将保持打开状态，其余门将保持关闭状态。因此，输出为 [1, 4]。

解题思路

这道题实际上是一个数学问题，可以通过观察规律来解决。我们可以发现，一个门被操作的次数等于它的因子个数。如果一个门的编号是完全平方数，那么它将被操作奇数次；否则，它将被操作偶数次。因此，最终打开的门的编号将取决于其是否是完全平方数。

因此，我们可以遍历 1 到 N，对于每个编号 i，如果 i 的平方根是整数，则将其添加到结果列表中。

代码实现

下面是一个 Python 代码示例，用于解决这道题：

import math

def find_open_doors(N):
    result = []
    for i in range(1, int(math.sqrt(N)) + 1):
        result.append(i ** 2)
    return result

请注意，代码中使用了 Python 的内置 math 模块的 sqrt 函数来计算平方根。在循环中，我们将平方根取整后加 1，以确保遍历到 N，并将结果添加到列表中。

总结

通过观察操作规律，我们可以得出解决这道题的关键思路。根据门的编号是否是完全平方数，可以判断门最终的状态是打开还是关闭。在编写代码时，我们可以使用数学库中的函数来辅助计算。这个问题不仅考察了对数学规律的观察和理解，还考察了编写代码解决问题的能力。