门|门CS 2010 |问题 11

这是一道考察图论算法的题目。给定一个二分图，求出所有的最大匹配。

问题描述

有一个二分图，要求求出该二分图的最大匹配数。

输入格式

输入的第一行包含两个整数N和M，表示二分图中左右两侧的节点数。

接下来的M行每行包含两个整数a和b，表示存在一条从左侧节点a到右侧节点b的边。

输出格式

输出一行一个整数，表示二分图的最大匹配数。

解法思路

二分图最大匹配可以使用匈牙利算法或者网络流算法求解。

匈牙利算法

匈牙利算法是一种经典的解决二分图最大匹配问题的算法。该算法基于增广路。

我们可以使用深度优先搜索的方式来查找增广路。

参考代码如下：

def dfs(u):
    for v in g[u]:
        if not st[v]:
            st[v] = True
            if match[v] == -1 or dfs(match[v]):
                match[v] = u
                return True
    return False


match = [-1] * n
for i in range(n):
    st = [False] * n
    dfs(i)

网络流算法

网络流算法是另一种解决最大匹配问题的高效算法，常用的算法有 Dinic 算法和 Ford-Fulkerson 算法。

我们可以将二分图转化为网络流模型，从源点向左侧节点连容量为1的边，从右侧节点向汇点连容量为1的边，左侧节点向右侧节点连容量为1的边。

参考代码如下：

def dfs(u, target):
    if u == target:
        return 1
    st[u] = True
    for v, w in graph[u]:
        if not st[v] and w > 0:
            t = dfs(v, target)
            if t:
                graph[u][v] -= 1
                graph[v][u] += 1
                return 1
    return 0

def max_flow():
    ans = 0
    while True:
        st = [False] * (n + m + 2)
        t = dfs(s, t)
        if not t:
            break
        ans += t
    return ans


n, m = map(int, input().split())
s, t = 0, n + m + 1
graph = [[0] * (n + m + 2) for _ in range(n + m + 2)]
for i in range(1, n + 1):
    graph[s][i] = 1
for i in range(n + 1, n + m + 1):
    graph[i][t] = 1
for i in range(m):
    u, v = map(int, input().split())
    graph[u][n + i + 1] = 1
print(max_flow())

总结

二分图最大匹配是一个经典的图论问题，可以使用匈牙利算法或者网络流算法进行求解。其中，匈牙利算法更为简单，但在实际应用中，网络流算法更加高效。