RD Sharma解决方案-第11类-第31章导数-练习31.2

RD Sharma解决方案是一个广泛使用的数学习题集解决方案。第11类RD Sharma解决方案是偏向于高中数学的一组解决方案，其第31章主要涵盖导数的基本概念和应用。本文将重点介绍第31章的练习31.2。

练习31.2

练习31.2涵盖了以下主题：

• 给定f(x)的导数求f(x)
• 给定f(x)和g(x)，求(f·g)(x)和(f/g)(x)的导数

该练习共有10个问题。

解决方案

下面是每一个问题的解决方案:

问题1

如果$f'(x) = 3x^2 + 4$，求$f(x)$。

解：

由导数反函数的基本概念，

$f(x) = \int f'(x) dx = \int (3x^2 + 4) dx$

$f(x) = x^3 + 4x + C$

因此，$f(x) = x^3 + 4x + C$

问题2

如果$f'(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 1$，并且$f(0) = 2$，求$f(x)$。

解：

由导数反函数的基本概念，

$f(x) = \int f'(x) dx = \int (x^3 + 3x^2 - 2x + 1) dx$

$f(x) = \dfrac{1}{4}x^4 + x^3 - x^2 + x + C$

因为$f(0) = 2$，

$2 = f(0) = C$

因此，$f(x) = \dfrac{1}{4}x^4 + x^3 - x^2 + x + 2$

问题3

如果$f(x) = e^{2x} \cos x$，求$f'(x)$。

解：

$f'(x) = (e^{2x} \cos x)'$

$f'(x) = (e^{2x})' \cos x + e^{2x} (\cos x)'$

$f'(x) = 2e^{2x} \cos x - e^{2x} \sin x$

因此，$f'(x) = e^{2x} (2\cos x - \sin x)$

问题4

如果$f(x) = \sqrt{x} + \dfrac{1}{x^2}$，求$f'(x)$。

解：

$f'(x) = (\sqrt{x} + \dfrac{1}{x^2})'$

$f'(x) = (\sqrt{x})' + (\dfrac{1}{x^2})'$

$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - 2\dfrac{1}{x^3}$

因此，$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{2}{x^3}$

问题5

如果$f(x) = \sqrt{\dfrac{x}{x+1}}$，求$f'(x)$。

解：

$f(x) = \sqrt{\dfrac{x}{x+1}}$

$f'(x) = (\sqrt{\dfrac{x}{x+1}})'$

$f'(x) = (\dfrac{x}{x+1})'(\sqrt{\dfrac{1}{x(x+1)}})$

$f'(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2}(\sqrt{\dfrac{x}{x+1}})$

$f'(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{(x+1)^2\sqrt{x+1}}$

因此，$f'(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{(x+1)^2\sqrt{x+1}}$

问题6

如果$f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$，求$f'(x)$。

解：

$f'(x) = (\dfrac{\sin x}{x})'$

$f'(x) = (\sin x)'(\dfrac{1}{x}) + \sin x (\dfrac{1}{x})'$

$f'(x) = \cos x (\dfrac{1}{x}) - \dfrac{\sin x}{x^2}$

因此，$f'(x) = \dfrac{\cos x}{x} - \dfrac{\sin x}{x^2}$

问题7

如果$f(x) = \log_e(\sin x)$，求$f'(x)$。

解：

$f'(x) = \dfrac{1}{\sin x}(\sin x)' = \dfrac{\cos x}{\sin x}$

因此，$f'(x) = \dfrac{\cos x}{\sin x}$

问题8

如果$f(x) = x\ln(x^2 + 1)$，求$f'(x)$。

解：

$f'(x) = (x\ln(x^2 + 1))'$

$f'(x) = (x)' \ln(x^2 + 1) + x (\ln(x^2 + 1))'$

$f'(x) = \ln(x^2 + 1) + 2x \dfrac{x}{x^2 + 1}$

因此，$f'(x) = \ln(x^2 + 1) + \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}$

问题9

如果$f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 -1}}$，求$f'(x)$。

解：

$f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 -1}}$

$f'(x) = (\dfrac{x}{\sqrt{x^2 -1}})'$

$f'(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 1} - x\dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}}{(x^2 - 1)}$

因此，$f'(x) = \dfrac{-1}{(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 1}}$

问题10

如果$f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$，求$f'(x)$。

解：

$f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$

$f'(x) = (\dfrac{\sqrt{x}}{x+1})'$

$f'(x) = (\sqrt{x})'(\dfrac{1}{x+1}) + \sqrt{x} (\dfrac{1}{x+1})'$

$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}(x+1)} - \dfrac{\sqrt{x}}{(x+1)^2}$

因此，$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}(x+1)} - \dfrac{\sqrt{x}}{(x+1)^2}$

结论

本文介绍了第11类RD Sharma解决方案–第31章导数–练习31.2。针对每一个问题，我们提供了详细的解决方案，以帮助读者更好地理解导数相关的概念和应用。我们希望这些解决方案对于数学学生和程序员有所帮助。