题目介绍

题目名称：GATE-IT-2004 第 60 题。

这道题是计算机科学领域的一个经典问题，要求你编写一个函数来找到两个排好序的数组的中位数。这个问题在算法和数据结构中被广泛使用，并且在面试中也经常被问及。

这道题需要你考虑不同的解法以及它们的时间复杂度和空间复杂度。此题解涵盖了几种可行的解法。程序员我们在编写代码之前要先理解这些算法，才能在需要时快速地写出正确的代码。

解题思路

简单解法

最简单的方法是将两个数组合并在一起，然后按顺序排序。最后，找到中间的元素（如果有偶数个元素，则找到中间两个元素的平均值）。这个算法的时间复杂度是O((m+n)log(m+n))。

def findMedianSortedArrays(nums1, nums2):
    nums = sorted(nums1 + nums2)
    n = len(nums)
    if n % 2 == 0:
        return (nums[n//2-1] + nums[n//2]) / 2
    else:
        return nums[n//2]

二分查找

另一种方法是使用二分查找算法。由于两个数组都是有序的，因此我们可以确定中位数的位置。考虑找到两个数组的第k大元素，其中k为两个数组大小的中位数的位置。

首先，我们计算两个数组大小的中位数的位置：k = (m + n + 1) // 2。如果m + n为奇数，则中位数是第k个元素。如果m + n为偶数，则中位数是第k和第k+1个元素的平均值。

然后，我们需要找到第k大的元素。假设第一个数组的长度小于等于k/2，那么在第二个数组中的前k/2个元素中肯定包含第k大的元素。因此，我们可以将第一个数组的前k/2个元素和第二个数组的前k/2个元素进行比较。如果第一个数组的中位数小于第二个数组的中位数，那么第二个数组中的前k/2个元素中肯定不包含第k大的元素。因为如果它包含第k大的元素，那么第一个数组的中位数肯定小于第k大的元素，这与第一个数组的中位数是所有小于第k大的元素的最大值相矛盾。因此，我们可以将第一个数组的前k/2个元素舍弃，那么需要找的第k大的元素肯定不在这些元素中，可以继续在剩下的元素中搜索。

def findMedianSortedArrays(nums1, nums2):
    m, n = len(nums1), len(nums2)
    if m > n:
        nums1, nums2, m, n = nums2, nums1, n, m
    if n == 0:
        raise ValueError("Input arrays should not be empty")
        
    imin, imax, half_len = 0, m, (m + n + 1) // 2
    while imin <= imax:
        i = (imin + imax) // 2
        j = half_len - i
        if i < m and nums2[j-1] > nums1[i]:
            # i is too small, must increase it
            imin = i + 1
        elif i > 0 and nums1[i-1] > nums2[j]:
            # i is too big, must decrease it
            imax = i - 1
        else:
            # i is perfect
            
            if i == 0: max_left = nums2[j-1]
            elif j == 0: max_left = nums1[i-1]
            else: max_left = max(nums1[i-1], nums2[j-1])
                
            if (m + n) % 2 == 1:
                return max_left
                
            if i == m: min_right = nums2[j]
            elif j == n: min_right = nums1[i]
            else: min_right = min(nums1[i], nums2[j])
                
            return (max_left + min_right) / 2

归并方法

还有一种方法是归并方法，将两个数组归并到一个新的数组中，并找到中位数。

def findMedianSortedArrays(nums1, nums2):
    l1, l2 = len(nums1), len(nums2)
    length = l1 + l2
    if length % 2 == 0:
        return (findKth(length//2, nums1, nums2) + findKth(length//2-1, nums1, nums2)) / 2.0
    else:
        return findKth(length//2, nums1, nums2)
        
        
def findKth(k, nums1, nums2):
    if not nums1:
        return nums2[k]
    if not nums2:
        return nums1[k]
    i1, i2 = len(nums1)//2, len(nums2)//2
    mid1, mid2 = nums1[i1], nums2[i2]
    if i1+i2 < k:
        if mid1 > mid2:
            return findKth(k-i2-1, nums1, nums2[i2+1:])
        else:
            return findKth(k-i1-1, nums1[i1+1:], nums2)
    else:
        if mid1 > mid2:
            return findKth(k, nums1[:i1], nums2)
        else:
            return findKth(k, nums1, nums2[:i2])

总结

以上三种方法都是可行的，其中二分查找是最优的方法，时间复杂度为O(log(min(m, n)))。简单解法和归并方法的时间复杂度为O(m + n)。因此，在面试中，二分查找是最好的方法。