门(GATE-IT-2004)问题29

这是一道考查编程能力的问题，要求编写一个程序来计算一个N阶矩阵的特征值。

问题描述

给定一个N阶矩阵A，计算其特征值λ和对应的特征向量。

解题思路

题目要求计算矩阵的特征值和特征向量，因此我们需要掌握特征值、特征向量的相关计算方法。

特征值

设A为N阶矩阵，x为N元列向量，λ为实数，则称满足下式的x为矩阵A关于实数λ的特征向量：

$$ Ax=\lambda x $$

λ称为矩阵A关于特征向量x的特征值。

计算特征值的方法：将

$$ |A-\lambda I|=0 $$

化为A的特征方程：

$$ a_0\lambda ^ {n} + a_1\lambda ^{n-1} + … +a_{n-1}\lambda+a_n=0 $$

解特征方程即可得到所有的特征值。

特征向量

特征向量x是指在矩阵A乘以这个向量之后，结果只是原向量的各个分量的定比例变化，这个比例就是特征值λ。

计算特征向量的方法：将方程组

$$ (A-\lambda I)x=0 $$

写成增广矩阵形式，对该矩阵作行变换，将其化为阶梯矩阵，求解自由元得到特征向量。

解题步骤

1. 输入矩阵A的大小N以及各个元素；
2. 利用特征方程计算所有特征值；
3. 对于每个特征值，求解特征向量；
4. 输出特征值和特征向量。

代码实现

import numpy as np
from scipy.linalg import null_space

# 输入矩阵A
N = int(input("请输入矩阵的大小N:"))
A = []
for i in range(N):
    row = list(map(float, input("请输入第{}行的{}个元素，用空格分隔:".format(i + 1, N)).split()))
    A.append(row)

A = np.array(A)

# 求特征值
eigenvalues = np.linalg.eig(A)[0]

for i, eig in enumerate(eigenvalues):
    # 求特征向量
    eig_vec = null_space(np.subtract(A, eig * np.identity(N)))
    eig_vec = eig_vec / eig_vec[0]
    
    print("特征值{}的特征向量为:{}".format(eig, eig_vec.T))

总结

本题考查编程者掌握的线性代数相关计算方法，需熟练掌握特征值、特征向量的计算方法。同时也考察了编程者对numpy和scipy等科学计算库的使用。