门 | GATE CS 2019 | 问题 27

这道题目是GATE CS 2019考试中的一道编程题，要求实现一个函数，判断一个矩阵是否是门（Gate）。

问题描述

一个矩阵被视为门，当且仅当：

1. 矩阵的所有元素都是 0 或 1。
2. 矩阵的第一行和最后一行都只有一个 1。
3. 矩阵的第一列和最后一列都只有一个 1。
4. 矩阵的剩余元素中，每个 1 都恰好有 4 个相邻的元素。

函数签名如下：

def is_gate(arr: List[List[int]]) -> bool:
    pass

解题思路

在判断一个矩阵是否为门时，我们需要先判断矩阵的前两行和后两行，以及前两列和后两列中是否只有一个 1。

接着，我们遍历矩阵中除去前两行/列和后两行/列的部分，每当遇到一个 1 时，就判断它周围是否有 4 个相邻的 1。

之所以只需要判断四个方向，是因为根据题目要求，每个 1 恰好有 4 个相邻的元素。

解题实现

from typing import List

def is_gate(arr: List[List[int]]) -> bool:
    # 判断前两行和后两行
    if arr[0].count(1) != 1 or arr[-1].count(1) != 1:
        return False
    
    # 判断前两列和后两列
    if not all([arr[i][0] == 1 and arr[i][-1] == 1 for i in range(len(arr))]):
        return False
    
    # 遍历除去前两行/列和后两列/列的部分
    for i in range(2, len(arr) - 2):
        for j in range(2, len(arr[0]) - 2):
            if arr[i][j] == 1:
                adjacent_ones = [arr[i-1][j], arr[i+1][j], arr[i][j-1], arr[i][j+1]]
                if adjacent_ones.count(1) != 4:
                    return False
    
    return True

复杂度分析

时间复杂度：$O(mn)$，其中 $m$ 表示矩阵的行数、$n$ 表示矩阵的列数。因为我们需要遍历除去前两行/列和后两行/列的部分。

空间复杂度：$O(1)$，因为我们没有使用额外的空间。