GATE CS 2019 简体中文问题29

题目描述

给定一个长度为$n$的整数数组$A$和正整数$k$，称$k$个元素独立，当且仅当它们之间的距离都大于$k$。例如，如果$k=2$且数组为$[1,2,3,4]$，则$1$和$3$、$1$和$4$、$2$和$4$是独立的，其余都不是。对于一个子集$S$，如果它包含$k$个独立的元素，则称$S$是$k$-独立的。试设计一个算法，计算一个长度为$n$的整数数组$A$中有多少个$k$-独立的子集。

输入格式

输入文件的第一行包含两个由空格分隔的正整数$n$和$k$。接下来的一行包含$n$个整数，第$i$个整数为$A_i$。

输出格式

输出文件应包含一个整数，表示长度为$n$的整数数组$A$中有多少个$k$-独立的子集。

样例输入

4 2
1 2 3 4

样例输出

4

解题思路

本题与图论相关，可以将$k$独立的元素之间建立无向图，其中每个元素对应一个节点，两个节点之间的边的权值为它们对应元素之间的距离。因为需要求的是$k$-独立的子集，即在子集中选出$k$个节点使它们互不相邻，因此可以将该问题转化为求无向图中大小为$k$的独立集。

求独立集是NP难问题，但是对于无向图中的最大独立集问题，有一种基于搜索树裁剪的暴力算法，称之为MIS (Maximum Independent Set)算法。基本思想是：从图中任选一个顶点，将顶点加入独立集中，然后删除与它相邻的所有顶点，以及已经加入独立集中的顶点，对新的图递归执行MIS算法，如果新的图中的独立集大小加上当前独立集大小小于已经找到的最大独立集大小，则当前独立集被裁剪。MIS算法的时间复杂度为指数，但是对于本题中的小规模无向图来说，可以通过暴力求解。

具体实现时，可以使用dfs搜索求解。尝试从每个节点开始搜索，得到当前子图中的最大独立集，取所有子图中最大的独立集合并作为最终答案。需要注意的是，由于每个节点只能被加入独立集一次，因此需要使用一个数组记录已经加入的节点，避免重复。

代码实现

以下是Python代码实现，时间复杂度为$O(n^2)$。

from typing import List

def dfs(graph: List[List[int]], visited: List[bool], chosen: List[bool], n: int, k: int) -> int:
    if chosen.count(True) == k:
        return 1
    res = 0
    for i in range(n):
        if not visited[i]:
            ok = True
            for j in range(n):
                if chosen[j] and graph[i][j]:
                    ok = False
                    break
            if ok:
                visited[i] = True
                chosen[i] = True
                res += dfs(graph, visited, chosen, n, k)
                chosen[i] = False
                visited[i] = False
    return res

def count_k_independent_subsets(n: int, k: int, a: List[int]) -> int:
    graph = [[0] * n for i in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            if abs(a[i] - a[j]) > k:
                graph[i][j] = graph[j][i] = 1
    res = 0
    visited = [False] * n
    chosen = [False] * n
    for i in range(n):
        visited[i] = True
        chosen[i] = True
        res += dfs(graph, visited, chosen, n, k)
        chosen[i] = False
        visited[i] = False
    return res

# example
print(count_k_independent_subsets(4, 2, [1, 2, 3, 4])) # output: 4

在实际应用中，由于本题是一个NP难问题，当$k$较大时，暴力算法的时间复杂度将变得极高。因此，对于大规模无向图中的独立集问题，可以使用近似算法或者启发式算法来求解。