门|门CS 2010 |问题 13

这是一个在门|门CS 2010比赛中出现的问题，需要解决的是给定一些食品的营养成分信息和价格，求出达到最小蛋白质和碳水化合物摄取量的条件下的最小花费。

问题描述

我们有n种不同的食品，每种食品有一定的营养成分信息和价格。给定每种食品的营养成分信息和价格，以及目标蛋白质和碳水化合物的最小摄入量，求出达到该目标的最小花费。

解决方案

思路

这是一道经典的线性规划问题。我们知道，线性规划问题的标准形式如下：

minimize  c^Tx
subject to  Ax = b
           x ≥ 0

其中，c是目标函数的系数向量，x是优化变量，A是约束矩阵，b是约束向量。

在本题中，我们可以将营养成分信息作为约束条件（即限制最大和最小的蛋白质和碳水化合物摄入量），将价格作为目标函数，即可转化为标准线性规划问题。

算法

在这个特定的问题上，我们可以使用单纯形法来解决线性规划问题。单纯形法是一种适用于标准线性规划问题的经典算法，其不断寻找目标函数值减小的方向，直到无法找到更优解为止。

单纯形法的基本思路是：每次从当前基本解出发，寻找可行解空间中的一个更优点作为新的基本解，不断迭代直到找到最优解为止。如果找不到更优的可行点，则当前基本解为最优解。

具体而言，我们需要实现的算法流程如下：

1. 将问题转化为标准线性规划问题
2. 初始化：选择一组基本变量，计算出基变量对应的基本解。
3. 检查当前基本解是否是最优解，如果是则结束，否则进行下一步。
4. 从非基变量中选择一个变量进入基本变量组成新的基本解
5. 检查新的基本解是否可行，如果可行则继续进行，否则重新选择新的变量。
6. 回到步骤3。

实现

我们可以用Python实现这个算法，使用pulp套件的线性规划工具包来求解标准线性规划问题。具体而言，我们需要定义如下变量：

• x_i: 第i种食品的数量
• P_i: 第i种食品的价格
• C_i: 第i种食品的碳水化合物含量
• T_i: 第i种食品的蛋白质含量
• C_min: 最小碳水化合物摄入量
• T_min: 最小蛋白质摄入量

然后，我们可以得到目标函数和约束条件如下：

minimize  sum(P_i * x_i)
subject to  sum(C_i * x_i) ≥ C_min
           sum(T_i * x_i) ≥ T_min
           x_i ≥ 0

这是一个标准的线性规划问题，可以用pulp套件中的lp求解器来求解。完整的代码见下：

import pulp

# 输入数据
n = int(input())
P = [int(x) for x in input().split()]
C = [int(x) for x in input().split()]
T = [int(x) for x in input().split()]
C_min, T_min = map(int, input().split())

# 定义问题
problem = pulp.LpProblem('diet', pulp.LpMinimize)

# 定义变量
x = [pulp.LpVariable(f'x{i}', lowBound=0) for i in range(n)]

# 定义目标函数
problem += sum(x[i] * P[i] for i in range(n))

# 定义约束条件
problem += sum(x[i] * C[i] for i in range(n)) >= C_min
problem += sum(x[i] * T[i] for i in range(n)) >= T_min

# 求解
problem.solve()

# 输出结果
if problem.status == pulp.LpStatusOptimal:
    print(int(pulp.value(problem.objective)))
else:
    print('Infeasible')

参考资料

1. 线性规划 - 百度百科
2. pulp documentation
3. Python Linear Programming: minimise cost diet problem with pulp library