说明门(GATE-CS-2006, 问题25)

该问题与布尔代数有关。它考查了一个布尔表达式的最小化，该表达式包含$5$个变量: $w, x, y, z$和$t$。问题要求我们将这个表达式最小化到只包含$3$个变量。因此，我们需要使用适当的逻辑运算符和方法。

解题思路

为了最小化布尔表达式，我们可以使用卡诺图(Karnaugh Map)的技巧。使用这个方法，我们可以将变量的所有可能组合列为一个矩阵。然后，我们可以识别和组合具有共同项的项。根据这些共同项，我们可以得出最小化表达式。

在这个测试中，我们用到的布尔表达式为:

((w^x)^(t^y))^(y^z)

为了使用卡诺图法，我们需要将变量列成表格:

   wz  WZ  Wz  wZ
xy                
XY   1   1   0   1
xy   0   0   0   0
Xy   1   1   0   1
xY   0   0   0   0

接下来，我们将标记矩阵中的所有$minterms$，$minterms$是一个布尔表达式中包含变量的最小单位。这个$minterms$可以是单个变量或变量的组合。

   wz  WZ  Wz  wZ
xy                
XY   Xy  XY  wZ  wz   
xy  wZ' wZ' wZ' wZ'  
Xy   Xy  XY  wZ  wz   
xY  wZ' wZ' wZ' wZ'  

标记$minterms$时，注意一个$minterms$在卡诺图中的邻近$minterms$。在这个例子中，无论是微调还是扩展两个$minterms$，都会使表达式的最小化变得更复杂。

将邻近的$minterms$组合在一起，可以得到一个尽可能简单的表达式。

(wz ^ x) ^ (xy ^ y) ^ (xz ^ t)

因此，这个布尔表达式的最小形式是:

(wz ^ x) ^ (xy ^ y) ^ (xz ^ t)

这是一个只包含三个变量$(x, y, z)$的表达式。

结论

在布尔代数中，最小化表达式是一项重要的任务。这有助于确定表达式中的变量数量。卡诺图法是一种非常流行和易于使用的技术，利用工具可轻松完成。最小化表达式不仅有助于简化表达式，还有助于降低电路的成本、能耗和故障可能性。