第 12 类 RD Sharma 解 – 第 20 章定积分 – 练习 20.1

本文主要介绍了 RD Sharma 教材中第 12 类定积分的第 20 章中的练习 20.1 题目的解法。此题主要考察对基本积分公式的掌握和运用。

题目描述

求定积分 $\int{e^x(cosx+sinx)dx}$。

解法

首先，我们需要对积分式进行变形。根据指数函数和三角函数的叠加公式，可以将 $e^x(cosx+sinx)$ 表示为 $e^x(cosx+sinx)=e^xcosx+e^xsinx$。因此，原式就可以表示为 $\int{e^xcosxdx}+\int{e^xsinxdx}$。进一步，对于这两个积分，我们可以运用分部积分法分别进行求解。

对第一个积分 $\int{e^xcosxdx}$，我们令 $f(x)=e^x$，$g'(x)=cosx$。因此，$f'(x)=e^x$，$g(x)=sinx$。根据分部积分公式，有：

$$\int{e^xcosxdx}=e^xsinx-\int{e^xsinxdx}$$

对第二个积分 $\int{e^xsinxdx}$，我们令 $f(x)=e^x$，$g'(x)=sinx$。因此，$f'(x)=e^x$，$g(x)=-cosx$。根据分部积分公式，有：

$$\int{e^xsinxdx}=-e^xcosx+\int{e^xcosxdx}$$

将上述两个积分代入原式，得到：

$$\int{e^xcosxdx}+\int{e^xsinxdx}=e^xsinx-\int{e^xsinxdx}-e^xcosx+\int{e^xcosxdx}$$

整理后得到：

$$2\int{e^xsinxdx}=e^xsinx-e^xcosx$$

因此，原式的解为：

$$\int{e^x(cosx+sinx)dx}=\frac{e^xsinx-e^xcosx}{2}+C$$

其中，$C$ 为常数。

总结

本文介绍了 RD Sharma 教材中第 12 类定积分的第 20 章中的练习 20.1 题目的解法，主要运用了分部积分法和基本积分公式。这道题目相对比较简单，但也是基础知识的考察，需要掌握和运用基本积分公式。在实践中，对于定积分的求解，还需要灵活运用转换积分形式、代数变形等方法，加强积分计算的手感。