如何划分多项式？

这种由系数和变量组成的代数表达式称为多项式。多项式的一般形式如下：

a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₂x² + a₁x + a₀

根据存在的项数，多项式可分为单项式、二项式和三项式。例如，x、13y、39 等项都是单项式，而 x ² + x、x ¹⁰ – x ⁴等项被称为二项式，因为它们由两个项组成。类似地，只有三个项的多项式称为三项式。

除法多项式

多项式除以另一个多项式的算术运算，通常比被除数低。多项式可能来自也可能不来自两个多项式的除法。用于求解表示多项式被单项式或另一个多项式拆分的有理数的算法称为除法多项式。我们以与正常除法相同的方式放置除数和除数。

在划分两个给定多项式时可以使用两种方法。这些讨论如下：

长除法

长除法是将多项式除以二项式或任何其他形式的多项式的最常见和最通用的方法。如果给定的分子和分母没有任何公因数，可以使用长除法简化表达式。长除法的一个例子如下所示，接下来是步骤：

假设我们被要求用长除法将多项式 x ² + 2x + 3 除以 x – 2。它在下面执行：

$\begin{array}{r} x+4\phantom{)} \\ x-2{\overline{\smash{\big)}\,x^2+2x+3\phantom{)}}}\\ \underline{-~\phantom{(}(x^2-2x)\phantom{-b)}}\\ 0+4x+3\phantom{)}\\ \underline{-~\phantom{()}(4x-8)}\\ 0+11\phantom{)} \end{array}$

长除法步骤

第 1 步：将被除数的第一项 (x ² ) 除以除数的第一项，并将其用作商的第一项。

第 2 步：将本例中的除数 (x – 2) 乘以答案 (x)，然后将乘积放在被除数 (x ² + 2x + 3) 的下方。

第 3 步：做一个新的多项式，减去。

第四步：用减法后得到的新多项式重复运算。

综合除法

它是一种仅使用系数值将多项式除以线性二项式的技术。我们以这种方式从最高次数项到最低次数项以标准形式写出多项式。以降幂书写时，使用零作为缺失项的系数。

例如，3x ⁴ + 5x + 9 可以写成 3x ⁴ + 0x ³ + 0x ² + 5x + 9。合成除法示例如下所示，其步骤如下：

假设我们被要求通过综合除法将多项式 x ² + x – 2 除以 x – 1。它在下面执行：

$\begin{array}{c|rrr}&1&1&-2\\1&&-1&2\\\hline\\&1&2&0\\\end{array}$

最后一行的前两个数字代表商的系数，第三个值是余数。

因此，商为 x + 2。

综合除法步骤

第 1 步：确保除数的形式为 x - k。在给定的情况下，除数形式为 x - k 和 k = 1。

第 2 步：在右边写出被除数系数，在左边写出 k 来设置除法。

第 3 步：现在，将股息的最高次数项的系数减小为零。在这种情况下，前导系数为 1（x ²的系数）。

第 4 步：将 k 乘以该前导系数，并将乘积写在被除数左侧第二个系数的下方。

第 5 步：将第二列中的数字相乘。

第 6 步：将 k 乘以第 5 步中获得的数字，并将结果写在右边的下一列中。

第 7 步：最后，我们将编写最终解决方案，该解决方案将比被除数低 1 度。

示例问题

问题 1. 使用合成除法，找到商和余数$\frac{x^2 + 3}{x - 4}$ .

解决方案：

Dividend = x² + 3 or, x² + 0x + 3

Divisor = x – 4

Applying synthetic division, we have:

$\begin{array}{c|rrr}&1&0&3\\4&&4&16\\\hline\\&1&4&19\\\end{array}$

The first two numbers of the last row represent the coefficients of the quotient and the third value is the remainder.

Thus, the quotient is x + 4 and the remainder is 19.

问题 2. 解决$\frac{4x^3+5x^2+5x+8}{4x+1}$使用长除法。

解决方案：

Dividend = 4x³ + 5x² + 5x + 8

Divisor = 4x + 1

Using long division method, we have:

$\begin{array}{r} x^2+x+1\phantom{)} \\ 4x+1{\overline{\smash{\big)}\,4x^3+5x^2+5x+8\phantom{)}}}\\ \underline{4x^3~\phantom{}+x^2~~~~~~~~~~~\phantom{-b)}}\\ 4x^2+5x~~~~~~~\phantom{)}\\ \underline{~\phantom{()}4x^2+1x~~~~~~~~~}\\ 4x+8\phantom{)}\\ \underline{-~\phantom{()}(4x+1)}\\ 7\phantom{)}\\ \end{array}$

Thus, the quotient and remainder are x² + x + 1 and 7 respectively.

问题 3. 解决$\frac{4x^3-3x^2+3x-1}{x-1}$使用合成除法。

解决方案：

Dividend = 4x³ – 3x² + 3x – 1

Divisor = x – 1

Applying synthetic division, we have:

$\begin{array}{c|rrr}&4&-3&3&-1\\1&&4&1&4\\\hline\\&4&1&4&3\\\end{array}$

The first three numbers of the last row represent the coefficients of the quotient and the fourth value is the remainder.

The quotient is 4x² + x + 4 and the remainder is 3.

问题 4. 解决$\left( 5{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+3x+11 \right)\div \left( x-2 \right)$使用合成除法。

解决方案：

Dividend = 5x³ – 6x² + 3x + 11

Divisor = x – 2

Applying synthetic division, we have:

$\begin{array}{c|rrr}&5&-6&3&11\\2&&10&8&22\\\hline\\&5&4&11&33\\\end{array}$

The first three numbers of the last row represent the coefficients of the quotient and the fourth value is the remainder.

The quotient is 5x² + 4x + 11 and the remainder is 33.

问题 5. 解决$\left( 18{{x}^{4}}+9{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)\div \left( 3{{x}^{2}}+1 \right)$使用长除法。

解决方案：

Dividend = 18x⁴ + 9x³ + 3x² + 0x + 0

Divisor = 3x² + 1

Using long division method, we have:

$\begin{array}{r} 6x^2+3x-1\phantom{)} \\ 3x^2+1{\overline{\smash{\big)}\,18x^4+9x^3+3x^2+0x+0\phantom{)}}}\\ \underline{18x^4~\phantom{}+0x^3+6x^2~~~~~~~~~\phantom{-b)}}\\ 9x^3-3x^2+0x+0\phantom{)}\\ \underline{~\phantom{()}9x^3+0x^2+3x~~~~~~~~~}\\ -3x^2-3x+0\phantom{)}\\ \underline{~\phantom{()}-3x^2+0x-1}\\ -3x+1\phantom{)}\\ \end{array}$

Thus, the quotient and remainder are 6x² + 3x – 1 and -3x + 1 respectively.