三角函数| 11年级数学

涉及一个或MO方程重新可变的三角函数称为三角方程。它表示为正弦(sin)，余弦(cos)，正切(tan)，余切(cot)，割线(sec)，割线(cosec)角度的比率。例如， sin3x = 1/2，tan2x = √3、2sinx + 1 = 0都是三角方程的示例。

三角方程的解

满足任何给定三角方程式的未知角度的值称为三角方程式的解，而找到解集的过程称为求解三角方程式。让我们考虑一个简单的方程，说tan x = 1 。在这里，您可以看到x = pi / 4、5pi / 4、9pi / 4等是可以满足上述方程式的一些解决方案。

Note: It is not necessary that every trigonometric equation has a solution. For example, tan x = 5 as no solution at all!

通用解决方案

所有解的集合都称为三角方程的解集或一般解。换句话说，一般的解决方案是涉及整数’n’的表达式，该表达式给出所有解决方案。考虑方程2cos x +1 = 0或cos x = -1/2 。显然， x = 2pi / 3、4π / 3等满足该方程式。这里， x = 2pi / 3、2pi±2pi / 3、4pi±2pi / 3 …。是上述三角方程的所有解，即2cosx + 1 =0。现在，您可以看到，这些解可以紧凑的形式组合为2n.pi±2pi / 3 ，其中“ n”可以取整数值。

Note: All trigonometric functions are periodic in nature. So, if a trigonometric equation has a solution, it will have infinitely many solutions.

一些标准三角方程的一般解：

Equation	General Solution
sin x = 0	x = n.pi
cos x = 0	x = n.pi + pi/2
tan x = 0	x = n.pi
sin x = sin y	x = n.pi + (-1)n, where y ∈ [-pi/2, pi/2]
cos x = cos y	x = 2n.pi ± y, where y ∈ (0, pi]
tan x = tan y	x = n.pi + y, where y ∈ (0, pi]
sin 2x = sin 2y	x = n.pi ± y
cos 2x = cos 2y	x = n.pi ± y
tan 2x = tan 2y	x = n.pi ± y

示例：找到以下方程的一般解?

(i)sin mx + sin nx = 0

Solution:

We have, 

sin mx + sin nx = 0

⇒ 2 sin((m + n) / 2)x cos ((m – n) / 2)x = 0

⇒ sin((m + n) / 2)x or cos ((m – n) / 2)x = 0

Now, sin((m + n) / 2)x = 0 

⇒ ((m + n) / 2)x = k.pi, k ∈ Z

⇒ x = 2k.pi / (m + n), k ∈ Z

And, cos ((m – n) / 2)x = 0

⇒ ((m – n) / 2)x = (2r + 1) pi/2, r ∈ Z

⇒ x = (2r + 1)pi / (m – n), r ∈ Z

Hence, the general solution of the given equation is

x = 2k.pi / (m + n) or, x = (2r + 1)pi / (m – n) where k, r ∈ Z

(ii)sin x + sin 3x + sin 5x = 0

Solution:

We have,

sin x + sin 3x + sin 5x = 0

⇒ (sin x + sin 5x) + sin 3x = 0

⇒ 2 sin3x cos2x + sin 3x = 0

⇒ sin 3x (2cos 2x + 1) = 0

⇒ sin 3x = 0 or 2cos 2x + 1 = 0

⇒ sin 3x = 0 or cos 2x = -1/2

Now, sin 3x = 0 ⇒ 3x = n.pi, n ∈ Z ⇒ x = n . pi/3, n ∈ Z.

And, cos 2x = -1/2

⇒ cos 2x = cos 2pi/3

⇒ 2x = 2m.pi ± 2pi/3, m ∈ Z

⇒ x = m.pi ± pi/3, m ∈ Z.

Hence, the general solution of the given equation is

x = n.pi/3 or, x = m.pi ± pi/3 where n, m ∈ Z.

(iii)2 cos ² x + 3罪恶x = 0

Solution:

We have, 2cos²x + 3sin x = 0

⇒ 2 (1 – sin²x) + 3sin x = 0

⇒ 2sin²x – 3sin x – 2 = 0

⇒ 2sin²x – 4sin x + sin x – 2 = 0

⇒ 2sin x (sin x – 2) + 1 (sin x – 2) = 0

⇒ (sin x – 2) (2sinx + 1) = 0

⇒ 2sin x + 1 = 0                                       [ Note: sin x ≠ 2 ]

⇒ sin x = -1/2

⇒ sin x = sin (-pi/6)

⇒ x = n.pi + (-1)ⁿ(-pi/6), n ∈ Z

Hence, x = n.pi + (-1)ⁿ⁺¹(pi/6), n ∈ Z.

主要解决方案

角度的绝对值最小的解称为主解。换句话说，将“ x”位于0到2pi区间(即0≤x≤2pi)的三角方程的解称为主要解。

Note: If a given trigonometric equation has a solution, then it will always have two principal solutions. 

让我们告诉你为什么会这样。考虑一个简单的方程，假设sin x = 1/2。在象限系统中，无论给出什么三角方程，右侧的绝对值将为正或负或零。现在，我们知道正弦函数在两个象限(I和II)中可以为正，而在两个象限(III和IV)中可以为负。这就是为什么当我们谈论主要解决方案时，我们总是会有两个解决方案。

We know that, sin pi/6 = ½

Also, sin 5pi/6 = sin (pi – pi/6)

Now, as sin (pi – x) = sin x  

Hence, sin 5pi/6 = sin pi/6 = ½  

So, here x = pi/3 and 5pi/6 are the two principal solutions of sin x = ½.

Note: 

Conversion techniques for finding principal solution.  

In quadrant I, θ

In quadrant II, pi – θ  

In quadrant III, pi + θ

In quadrant IV, 2pi – θ  

示例：找到以下方程式的主要解决方案?

(i)正弦θ=√3/ 2

Solution:

We have sin θ = √3/2

               sin θ = sin pi/3 or sin (pi – pi/3)

               θ = pi/3 or pi – pi/3

Hence, θ = pi/3 or 2pi/3

(ii)cos3θ= -1/2

Solution:

We have cos 3θ = -½

               cos 3θ = cos (pi – pi/3) or cos (pi + pi/3)

               3θ = 2pi/3 or 4pi/3

Hence, θ = 2pi/9 or 4pi/9

(iii)tan5θ= 1 /√3

Solution:

We have tan 5θ = 1/√3

               tan 5θ = tan pi/6 or tan (pi + pi/6)

               5θ = pi/6 or 7pi/6

Hence, θ = pi/30 or 7pi/30

sinθ= sin ∝的一般解

我们了解到，一般解是表示满足给定三角方程且可以以’n’形式表示的所有值的解决方案。让我们讨论形式为sinθ= sinα的方程的一般解。

The general solution of sin θ = sin ∝ is given by: θ = n.pi + (-1)ⁿ, n ∈  Z  

现在让我们证明一下。

We have,     sin θ = sin ∝

               ⇒ sin θ − sin ∝ = 0

               ⇒ 2 sin((θ − ∝) / 2) cos((θ + ∝) / 2)) = 0

               ⇒ sin((θ − ∝) / 2) cos((θ + ∝) / 2)) = 0

               ⇒ (θ − ∝) / 2 = m.pi and (θ + ∝) / 2 = (2m + 1) pi/2  

               ⇒ θ = 2m.pi + ∝ and θ = 2m.pi + pi – ∝

So, the general solution of sin θ = sin ∝ is given by: θ = n.pi + (-1)ⁿ, n ∈ Z.

让我们通过一个例子来更好地理解它。

示例：解方程：sinθ=-√3/ 2。

Solution:

We have, sin θ = -√3/2

                sin θ = sin (-pi/3)  

                     θ = n.pi + (-1)ⁿ(-pi/3), n ∈ Z

         Hence, θ = n.pi + (-1)ⁿ⁺¹(pi/3), n ∈ Z.