📅 最后修改于: 2023-12-03 15:11:30.224000 🧑 作者: Mango
本篇文章主要介绍数学第一部分第五章练习5.7的解决方案。本章主要内容包括连续性和可微性。
设函数$f(x)=|x-3|+|x+2|-|x|,x\in R$，问在哪些点$x$上$f(x)$可导？
设$f(x)=\begin{cases} 1-\sqrt{1-x^2}, & \text{if }x< 0 \ x^3-3x^2+3x+1, & \text{if } x\ge 0 \end{cases}$，讨论$f(x)$在$x=0$点的可导性。
根据函数可导的定义，函数在某点可导，当切线斜率在该点存在，即：
$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
存在，则称函数在该点可导。
因此，我们需要求出$f(x)$在某点$x$处的导数，来判断函数在该点是否可导。
首先，我们可以将函数$f(x)$用分段函数的形式表示：
$$f(x)=\begin{cases} -x+5, & \text{if } x\le -2 \ -1, & \text{if }-2<x\le 0 \ x+2, & \text{if }0<x\le 3 \ 5-x, & \text{if }x>3 \end{cases}$$
然后，我们可以计算出函数$f(x)$在不同点的导数：
$$f'(x)=\begin{cases} -1, & \text{if }x<-2 \ 0, & \text{if } -2<x<0 \ 1, & \text{if }0<x<3 \ -1, & \text{if }x>3 \end{cases}$$
根据导数的定义，我们可以得出结论，当$x\in (-2,0)$或$x\in (0,3)$时，$f(x)$可导。
同样地，我们需要求出$f(x)$在$x=0$处的导数，来判断函数在该点是否可导。
首先，我们先求出$f(x)$在$x<0$和$x\ge 0$的函数导数，分别为：
$$f'(x)=\begin{cases} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}, & \text{if }x<0 \ 3x^2-6x+3, & \text{if } x\ge 0 \end{cases}$$
然后，我们需要判断函数在$x=0$处是否满足导数存在的条件：
$$\lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{1-\sqrt{1-(0+\Delta x)^2}}{\Delta x}$$
$$=\lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1$$
$$\lim_{\Delta x\to 0^+}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0^+}\frac{(0+\Delta x)^3-3(0+\Delta x)^2+3(0+\Delta x)+1-1}{\Delta x}$$
$$=\lim_{\Delta x\to 0^+}(3\Delta x^2-6\Delta x+3)=3$$
因为左极限和右极限不相等，所以$f(x)$在$x=0$点不可导。
通过以上的求解，我们可以得出结论：