第12类NCERT解决方案-数学第I部分–第5章连续性和可微性–练习5.2

简介

本篇教程将介绍如何解决第12类NCERT解决方案-数学第I部分–第5章连续性和可微性–练习5.2中的问题。该练习主要涉及到函数在某些点的连续性和可微性的求解问题。通过该练习的学习，读者可以掌握基本的连续性和可微性概念，并了解如何应用它们解决一些常见的数学问题。

解决方案

练习5.2涉及到多个问题，主要为求函数在一些点的连续性和可微性。下面我们将逐个问题进行解答。

问题1

证明函数f(x)=|x-1|+|2x-1|在x=1处是不可微的。

该问题可以通过定义证明。根据可微性的定义，如果函数在某个点x处是可微的，则该函数在x处一定是连续的。因此，我们需要首先证明该函数在x=1处是不连续的。

当x<1时，f(x)=-(x-1)+(2x-1)=x-2，所以f(x)在x=1时的左极限为-1；当x>1时，f(x)=(x-1)+(2x-1)=3x-2，所以f(x)在x=1时的右极限为1。因此，f(x)在x=1处的左右极限并不相等，故f(x)在x=1处不连续。

既然该函数在x=1处不连续，根据定义，该函数在x=1处也就不可能是可微的。因此，我们完成了该问题的证明。

问题2

证明函数f(x)=|x^2-3x+2|在x=1处是可微的。

该问题同样可以通过定义证明。和上一个问题类似，我们首先需要证明该函数在x=1处是连续的。

当x<1时，f(x)=|x^2-3x+2|=-(x^2-3x-2)=(x-1)(2-x)，因此f(x)在x=1时的左极限为1；当x>1时，f(x)=|x^2-3x+2|=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)，因此f(x)在x=1时的右极限为-1。因此，f(x)在x=1处的左右极限相等，故f(x)在x=1处是连续的。

既然该函数在x=1处是连续的，我们可以使用求导数的方法证明该函数在x=1处是可微的。为了求出该函数在x=1处的导数，我们需要计算出f(x)在x=1处的左导数和右导数。

当x<1时，f(x)=-(x^2-3x-2)=(x-1)(2-x)，因此f’(x)=(2-x)+(-1)(x-1)=-x+1，所以f’_l(1)=-1；当x>1时，f(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)，因此f’(x)=2x-3，所以f’_r(1)=-1。

因此，当两个导数相等时，函数在该点处是可微的。由于f’_l(1)和f’_r(1)相等，因此该函数在x=1处是可微的。

问题3

求出函数f(x)=2x^3-9x^2+12x的任意2个零点之间至少存在一个零点。

由于该函数是一个三次函数，因此它是连续的。我们可以使用零点定理来证明该问题。

根据零点定理，如果在一个区间[a,b]内，f(a)和f(b)的符号不同，则在[a,b]内必定存在一个零点。因此，我们可以选择函数的三个根x=0，x=2，x=3来构成两个区间，其中一个区间为[0,2]，另一个区间为[2,3]。因为在这两个区间中，f(x)的符号是不同的，所以该函数在这两个零点之间至少存在一个其他的零点。

因此，我们完成了该问题的求解。

总结

本篇教程介绍了如何解决第12类NCERT解决方案-数学第I部分–第5章连续性和可微性–练习5.2中的问题。通过本篇教程的学习，读者可以了解如何应用基本的连续性和可微性概念解决一些常见的数学问题。