问题1：陈述以下陈述是对还是错。证明你的答案。
(i)每个无理数都是实数。
(ii)数线上的每个点的格式为√m，其中m是自然数。
(iii)每个实数都是一个无理数。
解决方案：
(i) Every irrational number is a real number.
True
Irrational numbers are the number that cannot be written in the form of p/q , p and q are the integers and q ≠ 0.
Some examples of irrational numbers are π, √3, e, √2, 011011011…..
Real numbers include both rational numbers and irrational numbers.
Thus, every irrational number is a real number.
(ii) Every point on the number line is of the form √m, where m is a natural number.
False
We can represent both negative and positive numbers on a number line.
Positive numbers can be written as √16=4 that is a natural number, But √3=1.73205080757 is not a natural number.
But negative numbers cannot be expressed as the square root of any natural number, as if we take square root of an negative number it will become complex number that will not be a natural number (√5=5i is a complex number).
(iii) Every real number is an irrational number.
False
Every irrational number is a real number but every real number is not an irrational number as real numbers include both rational and irrational number.
问题2：所有正整数的平方根是否不合理?如果不是，请给出一个数字的平方根的示例，该数字是有理数。
解决方案：
No, the square roots of all positive integers in not irrational. For example √9 = 3, √25 = 5, hence square roots of all positive integers is not irrational.
问题3：说明√5如何在数字线上表示。
解决方案：
要在数字行上代表√5，请执行以下步骤：
第1步：画一条数字线。
第2步：让数字行上的AB线为2个单位。
步骤3：现在在点B上绘制单元1的垂直线，并将另一端标记为点C。
步骤4：加入AC，您将拥有一个三角形ABC，它是一个直角三角形。如下所示：
第5步：将毕达哥拉斯定理应用于三角形ABC，
⇒ AB2 + BC2 = AC2
⇒ AC2 = 22 + 12
⇒ AC2 = 5
⇒ AC = √5
Therefore, line AC is of √5 unit length.
步骤6：现在，以AC线为半径，并以一条圆弧与数字线相交，圆弧与数字线相交的点的长度为从点0到交点的长度√5，因为点A为半径的中心。
问题4：课堂活动(构造“平方根螺旋”)：拿一张大纸，并按照以下方式构造“平方根螺旋”。从点O开始，绘制单位长度的线段OP 1。画一条垂直于单位长度OP 1的线段P 1 P 2 (见图1.9)。现在画一条垂直于OP 2的线段P 2 P 3 。然后画一条垂直于OP 3的线段P 3 P 4 。以这种方式继续，可以通过绘制垂直于OP n-1的单位长度的线段来获得线段P n-1 P n 。以这种方式，您将创建点P 2 ，P 3 ，….，P n ，….，并将它们连接起来以创建一个漂亮的螺旋，描绘√2，√3，√4，…。
解决方案：
步骤1：首先让我们在较大的纸上标记一个点O，该点将成为平方根螺旋的中心。
步骤2：从1个单位的O点绘制P 1点。 OP 1 = 1单位。
步骤3：与上述问题类似，从P 1画出1个单位的垂直线，P 1 P 2 = 1个单位。
步骤4：现在加入OP 2 =√2
步骤5：从点P 2画一个1单位的垂直线。 P 2 P 3 = 1个单位。
步骤6：现在加入OP 3 =√3
步骤7：现在重复步骤以制作√4，√5，√6，……。
