NPDA 接受语言 L = {am bn cp dq | m+n=p+q ; m,n,p,q>=1}

先决条件——下推自动机，下推自动机被最终状态接受
问题 –设计一个非确定性的 PDA 来接受语言 L = { $a^m$$b^n$$c^p$$d^q$ | m + n = p + q : m, n, p, q>=1}, 即

L = {abcd, abbcdd, abbccd, abbbccdd, ......}

在每个字符串，’a’和’b’的总数等于’c’和’d’的总数。

解释 –
在这里，我们需要保持“a”、“b”、“c”和“d”的顺序。因此，我们需要一个堆栈和状态图。 ‘a’、’b’、’c’ 和 ‘d’ 的计数由堆栈维护。我们将采用 2 个堆栈字母：

$\Gamma$ = { 1, z }

在哪里，
$\Gamma$ = 所有堆栈字母的集合
z = 堆栈起始符号

用于构建PDA的方法 –
由于我们想要设计一个 NPDA，因此每次 ‘a’、’b’、’c’ 和 ‘d’ 都会以正确的顺序出现。当 ‘a’ 和 ‘b’ 出现时，我们将把 ‘1’ 压入堆栈。之后，当 ‘c’ 和 ‘d’ 出现时，每次都从堆栈中弹出 ‘1’。因此，最后如果堆栈变空，那么我们可以说该字符串已被 PDA 接受。

堆栈转换函数 –

$\delta$ (q0, a, z) $\vdash$ (q0, 1z) $\delta$ (q0, a, 1) $\vdash$ (q0, 11) $\delta$ (q0, b, 1) $\vdash$ (q1, 11) $\delta$ (q1, b, 1) $\vdash$ (q1, 11) $\delta$ (q1, c, 1) $\vdash$ (q2, $\epsilon$ ) $\delta$ (q2, c, 1) $\vdash$ (q2, $\epsilon$ ) $\delta$ (q2, d, 1) $\vdash$ (q3, $\epsilon$ ) $\delta$ (q3, d, 1) $\vdash$ (q3, $\epsilon$ ) $\delta$ (q3, $\epsilon$ , z) $\vdash$ (qf, z)

其中，q0 = 初始状态
qf = 最终状态
$\epsilon$ = 表示弹出操作

所以，这是我们接受语言 L = { 所需的非确定性 PDA $a^m$$b^n$$c^p$$d^q$ | m + n = p + q ; m, n, p, q>=1 }。