第9类RD Sharma解决方案–第24章集中倾向的度量–练习24.4

本篇文章将介绍RD Sharma第9类教材中第24章集中倾向的度量中练习24.4的解决方案。

问题描述

已知$\overline{X}$和$\overline{Y}$是两组数据的平均值，标准偏差分别为$s_{X}$和$s_{Y}$，那么这两组数据合并后的平均值$\overline{Z}$和标准偏差$s_{Z}$分别是什么？

解决方案

假设第一组数据为$X$，第二组数据为$Y$，总共有$n_{1}$和$n_{2}$个数据，平均值分别为$\overline{X}$和$\overline{Y}$，标准偏差为$s_{X}$和$s_{Y}$。合并后的数据为$Z$，共有$n_{1}+n_{2}$个数据，平均值为$\overline{Z}$，标准偏差为$s_{Z}$。

根据基本的统计学原理可得：

$$\overline{Z} = \frac{n_{1}\overline{X}+n_{2}\overline{Y}}{n_{1}+n_{2}}$$

$$s_{Z} = \sqrt{\frac{n_{1}(s_{X})^{2}+n_{2}(s_{Y})^{2}+n_{1}(\overline{X}-\overline{Z})^{2}+n_{2}(\overline{Y}-\overline{Z})^{2}}{n_{1}+n_{2}}}$$

将上式代入得：

$$s_{Z} = \sqrt{\frac{(n_{1}-1)(s_{X})^{2}+(n_{2}-1)(s_{Y})^{2}+n_{1}(\overline{X}-\overline{Z})^{2}+n_{2}(\overline{Y}-\overline{Z})^{2}}{n_{1}+n_{2}-1}}$$

接下来我们可以用Python进行上述公式的求解。

def combined_statistics(X, Y):
    n1 = len(X)
    n2 = len(Y)
    mean_X = sum(X) / n1
    mean_Y = sum(Y) / n2
    sd_X = math.sqrt(sum((x - mean_X)**2 for x in X) / (n1 - 1))
    sd_Y = math.sqrt(sum((y - mean_Y)**2 for y in Y) / (n2 - 1))
    mean_Z = (n1 * mean_X + n2 * mean_Y) / (n1 + n2)
    sd_Z = math.sqrt(
        ((n1 - 1) * (sd_X)**2 + (n2 - 1) * (sd_Y)**2 + n1 * (mean_X - mean_Z)**2 + n2 * (mean_Y - mean_Z)**2)
        / (n1 + n2 - 1)
    )
    return (mean_Z, sd_Z)

这里我们使用了Python标准库中的math模块中的sqrt函数，用于计算标准差。

总结

本篇文章介绍了RD Sharma第9类教材中第24章集中倾向的度量中练习24.4的解决方案，对于需要合并两组数据并计算平均值和标准差的场景可能会有所帮助。