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📅 最后修改于: 2023-12-03 15:41:07.452000 🧑 作者: Mango
RD Sharma解决方案 - 第11类 - 第24章圈子 - 练习24.2
这是RD Sharma数学教材第11类第24章圆的第2个练习的解决方案。本章的主要目标是让学生了解圆和它们的性质。
练习24.2
在圆$C(O, r)$中，从$A$和$B$两个点向圆做切线，垂直线$AB$在点$P$相交。 如果点$Q$在$AP$上，且$BP$延长线，与圆相交于点$R$，则证明$CQ = RB$。
解决方案
为了证明$CQ = RB$，我们需要使用圆的性质和几何知识来分析该问题。以下是解决方案的步骤：
步骤1
先连接$OQ$和$PR$，如下图所示。
步骤2
由于$AP$和$BP$是圆的切线，因此$\angle AOP = \angle ABP = 90^{\circ}$。
步骤3
考虑三角形$AOP$和四边形$BPOR$。 它们的共同点是$OP$这条线段。
由于$AP$垂直$OP$，因此$\angle APO = 90^{\circ}$。 又因为$OP$是圆的半径，所以$OP = r$。
根据勾股定理，我们可以知道$AO^2=OP^2+AP^2$，也可以知道$OR^2=OP^2+RP^2$。将它们代入$AO^2-OR^2=AP^2-RP^2$中，我们得到：
$$ \begin{aligned} AO^2-OR^2 &= AP^2-RP^2 \ (r^2+AQ^2)-(r^2+RB^2) &= AP^2-RP^2 \ AQ^2-RB^2 &= AP^2-RP^2 \ \end{aligned} $$
步骤4
接下来，我们要推导出$CQ = RB$，因此需要证明$CQ = AQ - AP$和$RB = BP - RP$相等。
由于$AB$是垂直$AP$的，因此$\angle PAB=\angle PBA$。 又因为$AP$和$BP$是$C(O, r)$的切线，因此$\angle APO = \angle ABP$。
因此，我们可以得出$\triangle APO \sim \triangle BPQ$。 这意味着$\dfrac{AP}{AQ}=\dfrac{BP}{BQ}$，也就是说$AQ = \dfrac{AP \cdot BQ}{BP}$。
同样地，$BR = \dfrac{BP \cdot PR}{RP}$。 我们现在把它们代入$AQ - AP = BR - RP$中，我们得到：
$$ \begin{aligned} \frac{AP \cdot BQ}{BP} - AP &= \frac{BP \cdot PR}{RP} - RP \ \frac{AP \cdot BQ - AP \cdot BP}{BP} &= \frac{BP \cdot PR - RP \cdot BP}{RP} \ AP &= RP + \frac{RP \cdot BP}{BQ} \end{aligned} $$
因此，我们可以得出$CQ = AQ - AP = \dfrac{AP \cdot BQ}{BP} - RP - \dfrac{RP \cdot BP}{BQ} = \dfrac{AP \cdot BQ - RP \cdot BP}{BQ} = RB$。这意味着我们证明了$CQ = RB$。
因此，本练习得证。
结论
在圆$C(O, r)$中，从$A$和$B$两个点向圆做切线，垂直线$AB$在点$P$相交。 如果点$Q$在$AP$上，且$BP$延长线，与圆相交于点$R$，则$CQ = RB$。
代码
# RD Sharma解决方案 - 第11类 - 第24章圈子 - 练习24.2
## 练习24.2
在圆$C(O, r)$中，从$A$和$B$两个点向圆做切线，垂直线$AB$在点$P$相交。 如果点$Q$在$AP$上，且$BP$延长线，与圆相交于点$R$，则证明$CQ = RB$。
### 解决方案
为了证明$CQ = RB$，我们需要使用圆的性质和几何知识来分析该问题。以下是解决方案的步骤：
#### 步骤1
先连接$OQ$和$PR$，如下图所示。
#### 步骤2
由于$AP$和$BP$是圆的切线，因此$\angle AOP = \angle ABP = 90^{\circ}$。
#### 步骤3
考虑三角形$AOP$和四边形$BPOR$。 它们的共同点是$OP$这条线段。
由于$AP$垂直$OP$，因此$\angle APO = 90^{\circ}$。 又因为$OP$是圆的半径，所以$OP = r$。
根据勾股定理，我们可以知道$AO^2=OP^2+AP^2$，也可以知道$OR^2=OP^2+RP^2$。将它们代入$AO^2-OR^2=AP^2-RP^2$中，我们得到：
$$
\begin{aligned} AO^2-OR^2 &= AP^2-RP^2 \\ (r^2+AQ^2)-(r^2+RB^2) &= AP^2-RP^2 \\ AQ^2-RB^2 &= AP^2-RP^2 \\ \end{aligned}
$$
#### 步骤4
接下来，我们要推导出$CQ = RB$，因此需要证明$CQ = AQ - AP$和$RB = BP - RP$相等。
由于$AB$是垂直$AP$的，因此$\angle PAB=\angle PBA$。 又因为$AP$和$BP$是$C(O, r)$的切线，因此$\angle APO = \angle ABP$。
因此，我们可以得出$\triangle APO \sim \triangle BPQ$。 这意味着$\dfrac{AP}{AQ}=\dfrac{BP}{BQ}$，也就是说$AQ = \dfrac{AP \cdot BQ}{BP}$。
同样地，$BR = \dfrac{BP \cdot PR}{RP}$。 我们现在把它们代入$AQ - AP = BR - RP$中，我们得到：
$$
\begin{aligned} \frac{AP \cdot BQ}{BP} - AP &= \frac{BP \cdot PR}{RP} - RP \\ \frac{AP \cdot BQ - AP \cdot BP}{BP} &= \frac{BP \cdot PR - RP \cdot BP}{RP} \\ AP &= RP + \frac{RP \cdot BP}{BQ} \end{aligned}
$$
因此，我们可以得出$CQ = AQ - AP = \dfrac{AP \cdot BQ}{BP} - RP - \dfrac{RP \cdot BP}{BQ} = \dfrac{AP \cdot BQ - RP \cdot BP}{BQ} = RB$。这意味着我们证明了$CQ = RB$。
因此，本练习得证。
### 结论
在圆$C(O, r)$中，从$A$和$B$两个点向圆做切线，垂直线$AB$在点$P$相交。 如果点$Q$在$AP$上，且$BP$延长线，与圆相交于点$R$，则$CQ = RB$。