9类RD Sharma解决方案–第14章四边形-练习14.1

介绍

RD Sharma是印度一位著名的数学家，他的大量数学著作在印度和其他国家的中学和高中数学教育中使用广泛。其中，9类RD Sharma解决方案是对其著作《数学》（用于高中数学教育）的习题解答，共计5册，由著名的印度数学家R. S. Aggarwal编写。本文介绍其中的第14章四边形-练习14.1。

内容

练习14.1是关于平行四边形性质的习题，主要涉及以下内容：

1. 证明两个线段平行；
2. 证明四边形是平行四边形；
3. 求出平行四边形的周长和面积；
4. 证明平行四边形的对角线互相平分。

解答思路

1. 根据直线平行的性质，如果一条直线和一条与其不重合的传过同一点的直线所成的相邻角互补，则这两条直线平行。对于习题中给定的两个线段，求出它们与其他线段所组成的角，并判断这些角是否互补即可证明它们平行。

2. 平行四边形有以下两个性质：

   • 对边平行；
   • 相邻角互补。

   因此，我们可以通过验证四边形的对边是否平行、相邻角是否互补来判断它是否是平行四边形。同时，根据平行四边形的定义，所有内角都是直角，因此也可以通过验证是否有四个直角来证明一个四边形是平行四边形。

3. 求出平行四边形的周长和面积需要用到一些基本公式。对于该问题，可以分别求出对边的长度和相邻边的夹角，再利用公式进行计算。

4. 首先画出平行四边形的对角线，并在对角线上取一个点M，作BM垂直于AC交BD于E，利用三角形相似或等角关系，求出AE:EC和BE:ED的比值，从而证明这两条对角线互相平分。

代码片段

### 问题一：证明两个线段平行

已知：
AB和CD是平行四边形的两条边。

证明：
设E是AB的延长线上一点，与CD相交于F。
则 ∠ABF和∠CDE是对顶角，即相等。
而 ∠ABF和∠DAF是平行线AB和DF上的同位角，因此相等。
因此，有 ∠ABF = ∠CDE 和 ∠ABF = ∠DAF。
由此可得，CD || AB。
故证毕。

### 问题二：证明四边形是平行四边形

已知：
ABCD是一个四边形，且AB || CD，AD || BC。

证明：
利用四边形的定义，我们可以得到如下结论：

1. AB || CD；
2. AD || BC；
3. ∠ABC + ∠BCD = 180°；
4. ∠ABD + ∠CDB = 180°。

根据这些结论，我们可以证明ABCD是一个平行四边形。

### 问题三：求出平行四边形的周长和面积

已知：
ABCD是一个平行四边形，AB=a，BC=b，∠ABC=θ。

求解：
平行四边形周长：C = 2(a+b)；
平行四边形面积：S = absinθ。

### 问题四：证明平行四边形的对角线互相平分

已知：
ABCD是一个平行四边形，AC和BD是它的两条对角线，相交于点O。

证明：
作AC的垂直平分线，交BD在点E上，连接OE。
则 ∠BOE = ∠MOE = ∠AOM。同理 ∠DOE = ∠NOD = ∠CON。
而∠CON + ∠AOM = ∠ABC，∠BOE + ∠CON = 180°，因为AB || CD。
于是有∠BOE = ∠AOM，∠DOE = ∠CON。
由此可得，AC平分BD，BD平分AC。
故证毕。