第12类RD Sharma解–第19章不定积分–练习19.28

在本练习中，我们将介绍如何计算具有三角函数的不定积分。

问题描述

计算以下不定积分：

$$ \int \frac{1}{\cos^3 x} dx $$

解决方案

我们可以使用一些三角恒等式来简化问题：

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{\cos^3 x} dx &= \int \frac{\cos x}{\cos^4 x} dx \ &= \int \frac{\cos x}{(1 - \sin^2 x)^2} dx \ &= \int \frac{d\sin x}{(1 - \sin^2 x)^2} \end{aligned} $$

现在，我们可以使用变量 $u=\sin x$ 进一步简化：

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{\cos^3 x} dx &= \int \frac{d\sin x}{(1 - \sin^2 x)^2} \ &= \int \frac{1}{(1-u^2)^2} du \ &= \frac{1}{2} \int \frac{(1+u^2) - (1-u^2)}{(1-u^2)^2} du \ &= \frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{1-u^2} + \frac{u^2}{(1-u^2)^2}\right) du \ &= \frac{1}{2} \left(\ln \left| \frac{1+u}{1-u} \right| - \frac{u}{1-u^2} \right) + C \ &= \frac{1}{2} \left(\ln \left| \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right| - \frac{\sin x}{\cos^2 x} \right) + C \ \end{aligned} $$

因此，我们得到了以下结果：

$$ \int \frac{1}{\cos^3 x} dx = \frac{1}{2} \left(\ln \left| \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right| - \frac{\sin x}{\cos^2 x} \right) + C $$

结论

我们已经成功地计算了不定积分 $\int \frac{1}{\cos^3 x} dx$ 。在这个过程中，我们使用了一些基本的三角恒等式和变量代换，最终得到了一个简单的解析表达式。