题目介绍

本题为《RD Sharma数学教材》中的第12类练习题，即 高级数学 – 第19章不定积分 – 练习19.17。

该题要求计算一个比较复杂的无理函数的不定积分。该函数格式如下：

解题思路

要求解该无理函数的不定积分，我们可以采用换元法。首先，我们观察到该无理函数中存在一个开方的式子，因此我们可以尝试将原式中的开方去掉。

设u为以下中的任一一项：

则我们可以对上述式子进行平方：

我们观察到上述式子可以变形为：

因此，我们可以利用上述等式，将原式中的开方部分表示成u和x的函数，形如：

我们对其分母进行化简，得到：

我们令v = (u^2-ex-1)则：

分母的部分可以利用上述等式进行简化，化为：

因此，我们可以将原式中的无理式化成两个有理函数相加的形式，即：

为求解该表达式的不定积分，我们将三个有理函数进行积分，并将得到的结果进行合并和简化，即可得到最终的结果。

代码实现

参考上述解题思路，我们可以将解题过程分为以下几步：

1. 第一步，对原式中的无理式进行化简，将其转化为两个有理函数之积的形式。

2. 第二步，对三个有理函数进行积分，得到三个不定积分表达式。

3. 第三步，将三个不定积分表达式进行合并和简化，得到最终的结果。

下面是Python代码的实现示例：（注：代码的实现细节过多，故未全部展示，只展示了其中的一部分，请见谅。）

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')

# 第一步，对原式中的无理式进行化简

# 第一步的过程已经在解题思路中详细介绍了，此处不再赘述。

# 定义有理函数v，u1和u2

v = sp.sqrt((sp.exp(x)-1)/(sp.exp(x)+1)) * ((sp.exp(x)+1)/(sp.exp(x)+1))

u1 = sp.sqrt(sp.exp(x)) + sp.sqrt(1+sp.exp(x))
u2 = sp.sqrt(sp.exp(x)) - sp.sqrt(1+sp.exp(x))

# 计算第一个有理式的不定积分表达式
F1 = sp.integrate(v / u1, x)

# 计算第二个有理式的不定积分表达式
F2 = sp.integrate(1 / (2 * sp.sqrt(sp.exp(x)) * sp.sqrt(1+sp.exp(x))) * (u1**2 + sp.exp(x) - 1) / (u1**2 + sp.exp(x) + 2*sp.sqrt(sp.exp(x))*sp.sqrt(1+sp.exp(x)) + 1), x)

# 计算第三个有理式的不定积分表达式
F3 = sp.integrate(1 / (2 * sp.sqrt(sp.exp(x)) * sp.sqrt(1+sp.exp(x))) * (u2**2 + sp.exp(x) - 1) / (u2**2 + sp.exp(x) - 2*sp.sqrt(sp.exp(x))*sp.sqrt(1+sp.exp(x)) + 1), x)

# 第三步，将三个不定积分表达式进行合并和简化

result = F1 - F2 - F3

result.simplify()

# 输出最终结果
print(result)

上述代码将得到一个Sympy对象，其中包含了计算出的不定积分表达式，我们可以通过调用result.simplify()方法，将其进行简化。最终结果如下：

因此，我们得到了原表达式的不定积分表达式，即f(x)=（x/2 - (sqrt(e^x) + sqrt(1+e^x))/2）+C。

参考资料

RD Sharma数学教材 – 高级数学 – 第19章不定积分 – 练习19.17

Sympy文档：https://docs.sympy.org/latest/index.html