算法测验 | SP竞赛4 | 问题6

这是一道关于图论的算法竞赛问题。给定一个包含n个节点的有向无环图，节点标签从1到n。每个节点i具有一个代价w[i]。路径（P）费用被定义为路径上所有节点的代价之和。给定起点s和终点t，找到s到t的权值最小的P。

这道题需要用到Dijkstra算法，在这里简要介绍一下Dijkstra算法：

Dijkstra算法(也叫最短路径算法)是由荷兰计算机科学家狄科斯彻列出的。该算法可用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。和贪心算法的区别是，贪心算法对于每个子问题只考虑当前状态，而Dijkstra算法则会保存一个距离向量并对距离向量进行更新，直到最短路径的距离为止。

Dijkstra算法的步骤如下：

1. 初始化：将起点标记为待处理状态，将其他节点标记为未处理状态，每个节点的路径距离为无穷大，起点的距离被设为0。
2. 扩展：选取路径距离最小的节点作为当前节点，更新当前节点的邻居节点的路径距离。邻居节点的路径距离是当前节点的路径距离加上到邻居节点的边的权值。如果当前节点能到达的邻居节点已经处理过，那么跳过，否则标记为待处理状态。
3. 终止：重复步骤2，直到所有的节点都被处理过，或者目标节点被处理过。

下面是使用Python实现的Dijkstra算法的代码片段:

# 初始化节点距离，起点距离为0
distance = [float("inf")]*n
distance[s-1] = 0

# 将节点创建成一个集合，每次选择最小距离的节点进行处理
unvisited = set(range(1, n+1))

while unvisited:
    # 找到未处理的节点中距离起点最小的
    current = min(unvisited, key=lambda node: distance[node-1])
    unvisited.remove(current)

    # 更新与该节点相邻节点的距离
    for neighbour in adj[current]:
        weight = w[current - 1][neighbour - 1]
        new_distance = distance[current-1] + weight
        if new_distance < distance[neighbour-1]:
            distance[neighbour-1] = new_distance

# 返回终点距离
return distance[t-1]

以上代码将返回起点s到终点t的最短距离。

对于这道问题，可以使用Dijkstra算法求解。具体实现可以使用邻接矩阵或邻接列表来存储图的信息。

还需要注意的是，本题中提到的是“有向无环图”，因此不存在负权边。如果有负权边，需要使用Bellman-Ford或SPFA算法。