10类RD Sharma解决方案–第5章三角比–练习5.3 |套装1

这是RD Sharma第5章三角比中的练习5.3，共有套装1、2、3三个。本篇介绍的是套装1的解决方案。这个练习围绕着三角形的三边、三角函数及其比值展开，力求让学生自由熟练地掌握这些知识点。

解决方案

5.3.1

题目

如果 $\cot A = 5:3$，求 $\sin A$ 和 $\cos A$。

解答

我们知道 $\cot A = \dfrac{\cos A}{\sin A}$，代入题目中的比例即得到：

$$\dfrac{\cos A}{\sin A} = \dfrac{5}{3}$$

移项并平方可得：

$$\sin^2 A = \dfrac{9}{34}, \cos^2 A = \dfrac{25}{34}$$

注意到 $\sin A > 0$，$\cos A > 0$，所以：

$$\sin A = \dfrac{3\sqrt{34}}{34}, \cos A = \dfrac{5\sqrt{34}}{34}$$

5.3.2

题目

如果 $\tan x = \dfrac{1}{2}$，求 $\cos x$ 和 $\sin x$。

解答

根据 $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$，代入题目中的比例得到：

$$\dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{1}{2}$$

移项并平方可得：

$$\cos^2 x = \dfrac{4}{5}, \sin^2 x = \dfrac{1}{5}$$

注意到 $\cos x > 0$，$\sin x > 0$，所以：

$$\cos x = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}, \sin x = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$$

5.3.3

题目

如果 $\sin A = \dfrac{5}{13}$，$\cos B = \dfrac{12}{13}$，求 $\tan (A+B)$。

解答

根据 $\tan (A+B) = \dfrac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A\tan B}$，我们可以求得 $\tan A$ 和 $\tan B$：

$$\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A} = \dfrac{5}{12}, \tan B = \dfrac{\sin B}{\cos B} = \sqrt{1 - \cos^2 B}\div \cos B = \dfrac{\sqrt{455}}{156}$$

代入公式可得：

$$\tan (A+B) = \dfrac{\dfrac{5}{12} + \dfrac{\sqrt{455}}{156}}{1 - \dfrac{5}{12}\cdot\dfrac{\sqrt{455}}{156}} = \dfrac{75\sqrt{455}}{541}$$

5.3.4

题目

如果 $\sin (x+y)=p$，$\cos (x-y)=q$，求 $\sin 2x$。

解答

把 $\sin (x+y)$ 和 $\cos (x-y)$ 带入两个恒等式：

$$\sin (x+y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y$$

$$\cos (x-y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y$$

得到：

$$p = \sin x\cos y + \cos x\sin y = \sin (x + y)$$

$$q = \cos x\cos y - \sin x\sin y = \cos (x - y)$$

我们注意到 $p$ 和 $q$ 的平方和为1：

$$p^2 + q^2 = \sin^2 (x + y) + \cos^2 (x - y) = 1$$

所以 $\sin (2x + 2y) = 0$，即 $\sin 2x\cos 2y = -\cos 2x\sin 2y$。这里不妨设 $\cos y > 0$，那么上式可以简化为 $\tan 2x = -\dfrac{\sin 2y}{\cos 2y} = -\dfrac{p}{q}$。另外有 $\sin 2y = 2\sin y\cos y$ 和 $\cos 2y = 2\cos^2 y - 1$：

$$\dfrac{\sin (x + y)}{\cos (x - y)} = \dfrac{2\sin y\cos y}{2\cos^2 y - 1} = \dfrac{\tan y}{1 - \tan^2 y}$$

代入 $p$ 和 $q$ 的值可得：

$$\tan 2x = -\dfrac{p}{q} = -\dfrac{\tan y}{1 - \tan^2 y}$$

$$\tan x = \dfrac{\tan y - \sqrt{\tan^2 y - 1}}{\tan^2 y + 1}$$

$$\sin 2x = 2\cos x\sin x = \dfrac{2\tan x}{1 + \tan^2 x} = -\dfrac{2p}{p^2 - q^2} = \dfrac{2pq}{q^2 - p^2}$$

于是我们就求出了 $\sin 2x$ 的值。注意到这个式子可以简化为 $\dfrac{p}{q}$，所以如果 $p$ 和 $q$ 互换，答案不变。