8类NCERT解决方案 – 实用几何 – 练习4.4

本文将介绍8类NCERT解决方案中的实用几何练习4.4，帮助程序员更好地理解实用几何的概念和问题。下面是具体介绍：

问题描述

给定一个双曲线，其中曲线的长轴长为16 cm，短轴长为12 cm。在短轴上取一点O，该点到曲线两焦点的距离分别为8 cm和4 cm。过该点作一条直线，与曲线交于点P和Q，求出OP、OQ和PQ的长度。

问题分析

该问题是一个典型的圆锥曲线问题，根据题目中给出的曲线参数可以求出曲线的方程，然后根据焦点和大半轴/小半轴可以计算出曲线的焦距f和离心率e。通过这些参数，就可以得到直线与曲线的交点P和Q，并求出OP、OQ和PQ的长度。

解决方案

计算圆锥曲线方程

根据题目中给出的双曲线参数，可以得到该曲线的标准方程为：x^2/64 - y^2/144 = 1。

计算曲线的焦距和离心率

根据双曲线标准方程公式，可以得到双曲线的焦距为f = sqrt(64 + 144) / 2 = 5*sqrt(5) cm，离心率为e = sqrt(1 + (12^2/16^2)) = 5/8。

求出交点P和Q

对于直线上的一点(x,y)，直线与曲线的交点可表示为：x^2/64 - y^2/144 = 1 和 y = kx + b 的联立方程组。解得 x = (64kb) / (64k^2 - 144) 和 y = (12kx) / 16。将其代入上述联立方程组，可得解析式：144(1+k^2)x^2 - 1024kbx - 2304 = 0，解出x的值，可得到交点的x坐标，在代入y = kx + b，可命得点P和点Q。

求出OP、OQ和PQ的长度

利用中心对称的性质得知，PO = QO，所以OP = OQ。通过勾股定理可以计算出PQ的长度。

代码实现

### 计算圆锥曲线方程
曲线的标准方程为：x^2/64 - y^2/144 = 1

### 计算曲线的焦距和离心率
焦距f = 5*sqrt(5) cm
离心率e = 5/8

### 求出交点P和Q
直线方程为：y = kx + b
联立方程组可得：x = (64*k*b) / (64*k^2 - 144)，y = (12*k*x) / 16
代入双曲线公式，得到方程：144*(1+k^2)*x^2 - 1024*k*b*x - 2304 = 0
解出x的值，可得到交点的x坐标，在代入y = kx + b，可得点P和点Q

### 求出OP、OQ和PQ的长度
由中心对称的性质，可知OP = OQ
根据勾股定理可得PQ = sqrt((OP - OQ)^2 + (2f)^2)

总结

通过本文学习，我们了解了圆锥曲线问题的一般解决方法，并通过具体案例分析了实用几何问题。希望能对程序员朋友们的实用几何问题求解有所帮助。