RD Sharma - 第20章 几何级数 - 练习20.4

简介

RD Sharma是一位印度数学家，他的教材系列是印度学生学习数学的主要教材之一。其中第20章“几何级数”介绍了基本的几何级数概念、公式和应用，练习20.4包含有关几何级数的样例问题。

练习20.4

题目

已知${a_n}$为等比级数，且$a_2-a_1=a_3-a_2$. 证明$a_n$是等差数列。

解题思路

我们有等比级数的通项公式：$a_n=a_1r^{n-1}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比。因此，

$$a_2-a_1=a_1r-a_1=a_3-a_2=a_2r-a_1r$$

整理可得$a_1(r-1)=a_2(r^2-r)$，进一步得到：

$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{r-1}{r^2-r}$$

我们还可以由此得到$a_3=\frac{a_1r^2(r-1)}{(r^2-r)^2}$，$a_4=\frac{a_1r^3(r-1)}{(r^2-r)^2}$等。

由于$a_2-a_1=a_3-a_2$，我们可以列出方程：

$$a_1(r-1)(r^2-r-r(r^2-2r+1))=0$$

解得$r=r_1=1$或$r=r_2=-1$或$r=r_3=\frac{3}{2}$。注意到$r_1=1$时等比级数就变成了等差数列，因此只需证明$r_2$和$r_3$不成立即可。

当$r=r_2=-1$时，我们有$a_2=-a_1$，$a_3=a_1$，$a_4=-a_1$，$a_5=a_1$等，这显然不是等差数列。

当$r=r_3=\frac{3}{2}$时，$a_n$无法变成等差数列。我们可以列出$3a_2=2a_3$，$9a_4=4a_3$等方程，发现无法继续得到等差数列的条件。

因此，我们证明了只有$r=1$时，${a_n}$是等差数列。

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# RD Sharma - 第20章 几何级数 - 练习20.4

## 简介

RD Sharma是一位印度数学家，他的教材系列是印度学生学习数学的主要教材之一。其中第20章“几何级数”介绍了基本的几何级数概念、公式和应用，练习20.4包含有关几何级数的样例问题。

## 练习20.4

### 题目

已知$\{a_n\}$为等比级数，且$a_2-a_1=a_3-a_2$. 证明$a_n$是等差数列。

### 解题思路

我们有等比级数的通项公式：$a_n=a_1r^{n-1}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比。因此，

$$a_2-a_1=a_1r-a_1=a_3-a_2=a_2r-a_1r$$

整理可得$a_1(r-1)=a_2(r^2-r)$，进一步得到：

$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{r-1}{r^2-r}$$

我们还可以由此得到$a_3=\frac{a_1r^2(r-1)}{(r^2-r)^2}$，$a_4=\frac{a_1r^3(r-1)}{(r^2-r)^2}$等。

由于$a_2-a_1=a_3-a_2$，我们可以列出方程：

$$a_1(r-1)(r^2-r-r(r^2-2r+1))=0$$

解得$r=r_1=1$或$r=r_2=-1$或$r=r_3=\frac{3}{2}$。注意到$r_1=1$时等比级数就变成了等差数列，因此只需证明$r_2$和$r_3$不成立即可。

当$r=r_2=-1$时，我们有$a_2=-a_1$，$a_3=a_1$，$a_4=-a_1$，$a_5=a_1$等，这显然不是等差数列。

当$r=r_3=\frac{3}{2}$时，$a_n$无法变成等差数列。我们可以列出$3a_2=2a_3$，$9a_4=4a_3$等方程，发现无法继续得到等差数列的条件。

因此，我们证明了只有$r=1$时，$\{a_n\}$是等差数列。

以上就是关于RD Sharma第20章的练习20.4的介绍和解题思路，希望对大家有所帮助。